[doc] Einleitung

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 \section{Einleitung}
 
 \subsection{Allgemein}
-In dieser Arbeit wollen wir uns mit numerischen Lösungsverfahren für die homogene Laplace-Gleichung
+In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit numerischen Lösungsverfahren für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen,
 \begin{align}
  - \varDelta u  &= 0 &\text{ in } \Omega& \subset \R^3\\
  u &=  f &\text{ auf } \Gamma&:=\partial\Omega \nonumber
 \end{align}
-beschäftigen, wobei
+ wobei
 $\Omega \subset \R^3$ beschränkte Teilmenge von $\R^3$ 
-mit Rand $\Gamma := \partial \Omega$\\
+mit Dirichlet-Rand $\Gamma := \partial \Omega$\\
 
 $\abs{u(x)} =  O(\abs{x}^{-1}) \nonumber$
 Daraus folgt:
@@ -191,22 +191,40 @@ Damit ist $\phi_{\ell}$ die Galerkinapproximation an $\phi$
 % \end{align}
 
 \subsection{Netz}
+Für die Diskretisierung des Problems wollen wir nun einige Begriffe definieren.
 
 \begin{defi}
- Sei $T \subseteq \R^3$ ein achsenorientiertes Rechteck, wenn sich aus dem Eckpunkt $C \in \R^3$, alle weiteren Knoten schreiben lassen als $\{ C + a\cdot A, C + a \cdot A + b \cdot B , C + b \cdot B\}$, wobei Vektoren $A,B \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$ und Skalare $a,b\neq0$ sind und der Flächeninhalt $|T| > 0$.
+ Sei $T \subseteq \R^3$ ein achsenorientiertes Rechteck, wenn sich aus dem Eckpunkt $C \in \R^3$, alle weiteren Knoten schreiben lassen als $\{ C + a\cdot A, C + a \cdot A + b \cdot B , C + b \cdot B\}$, wobei Vektoren $A,B \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$ und Skalare $a,b\neq0$ sind und der Flächeninhalt $|T| > 0$. Weiterhin sei
+ \begin{align}
+  C_T &:= \{ c_i:1\leq i \leq 4\}
+ \end{align}
+die Menge der Eckpunkte des Rechtecks.
 \end{defi}
+
 \begin{defi}
- Sei $\T_{\ell} = \{T_1,T_2,\dots,T_N\}$ eine Triangulierung von $\Gamma$. Dann gilt:
+ Sei $\T_{\ell} = \{T_1,T_2,\dots,T_N\}$ eine \todo{Triangulierung ($\to$ Dreiecke?)} von $\Gamma$. Dann gilt:
 \begin{itemize}
  \item $\overline{\Gamma} = \bigcup_{j=1}^NT_j$
  \item $\forall T_j \in T_{\ell}$ abgeschlossen und nicht null $\abs{T_j}>0$
  \item $\abs{T_j \cap T_k} = 0$ mit $T_j,T_k\in\T_{\ell}$ und $T_j\neq T_k$
 \end{itemize}
 \end{defi}
+Den Begriff der Triangulierung wollen wir hier noch stärker definieren, da wir pro Seite eines Rechtecks nur einen hängenden Knoten zulassen wollen.
+\begin{defi}
+ Eine Triangulierung $\T$ von $\Gamma$ sei gültig, wenn auf jeder Kante eines Rechtecks maximal ein Knoten liegt. Daraus folgt, dass pro Seite eines Rechtecks
+ \begin{itemize}
+  \item entweder kein Nachbarelement
+  \item oder genau ein Nachbarelement
+  \item oder genau zwei Nachbarelemente
+ \end{itemize}
+anliegen können. Weiterhin wollen wir auch verlangen, dass der auf der Kante liegende Knoten die Seite halbiert, die beiden Nachbarlemente also die gleiche Seitenlänge an der anliegenden Kante haben.
+\end{defi}
+\todo{Reguläres Netz auch definieren?}
+\todo{+Bild}
 
 \subsubsection{Verfeinern}
 \begin{defi}
- Sei $\T_{\ell/2}$ das aus der Verfeinerung von $\T_{\ell}$ resultierende Netz
+ Sei $\T_{\ell/2}$ die aus der Verfeinerung von $\T_{\ell}$ resultierende gültige Triangulierung.
 \end{defi}
 \begin{alg}[Verfeinern] \label{alg:refine} Sei $\T_{\ell} = \{T_1,T_2,\dots,T_N\}$ eine gegebenes Netz und $marked$ eine gegebene Markierung wobei $marked_j \hat =$ Markierung von $T_j$. Nun sei $j = 1$ und gehe so vor:
  \begin{enumerate}