Bei der Berechnung von \ref{math:V} haben wir geometrisch zwischen zwei Fällen zu unterschei den. Entweder die beiden Elemente liegen in parallelen Ebenen oder in orthogonalen Ebenen.
\subsubsection{Parallele Elemente}
-Liegen die beiden Elemente parallel zueinander lassen sie sich Folgendermaßen darstellen:
-Sei: \Ta = $ \v + [(0,l_1) \times (0,l_2) \times \{0\}]$ und \Tb = $ \tilde \v + [(0,\tilde l_1) \times (0,\tilde l_2) \times \{0\}]$, wobei $\v,\tilde \v \in \R^3$ ist. Weiterhin sei $\boldsymbol{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$ definiert.\\
-Damit können wir zeigen, dass
+Liegen die beiden Elemente parallel zueinander können wir sie darstellen als:
\begin{eqnarray*}
-&&\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T}
+ T_j &=& \v + [(0,l_1) \times (0,l_2) \times \{0\}]\\
+ T_k &=& \tilde \v + [(0,\tilde l_1) \times (0,\tilde l_2) \times \{0\}], \text{ mit } \v,\tilde \v \in \R^3
+\end{eqnarray*}
+Wir setzen $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$.
+Daher gilt:
+\begin{eqnarray*}
+&&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+&=&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k}
\left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_y ds_x\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_0^{l_1}\int_0^{l_2}\int_0^{\tilde l_1}\int_0^{\tilde l_2}
+&=&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k}
\left ( ((x_1 + v_1)-(y_1 +\tilde v_1))^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- \tilde v_3)^2 \right)^{-1/2}
- dy_2 dy_1 dx_2 dx_1\\
+ ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
&=&\frac{1}{4\pi} \int_0^{l_1}\int_0^{l_2}\int_0^{\tilde l_1}\int_0^{\tilde l_2}
\left ( (x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2 \right)^{-1/2}
dy_2 dy_1 dx_2 dx_1
\end{eqnarray*}
-die Stammfunktion $F_{par}$ das Integral über zwei parallele Elemente löst.
+die Stammfunktion $F_{par}$, welche das Integral über zwei parallele Elemente löst.
\begin{eqnarray*}
F_{par}(x_1,x_2,y_1,y_2,\delta_1,\delta_2,\delta_3) &:=& \int \int \int \int \left\{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\right\}^{-1/2}dy_2 dy_1 dx_2 dx_1
\end{eqnarray*}
\subsubsection{Orthogonale Elemente}
-\Ta = $ \v + [(0,l_1) \times (0,l_2) \times \{0\}]$\\
-\Tb = $ \tilde \v + [ \{0\} \times (0,\tilde l_2) \times (0,\tilde l_3)]$\\
-$\v,\tilde \v \in \R^3$\\
-$\boldsymbol{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$\\
+Liegen die beiden Elemente orthogonal zueinander können wir sie darstellen als:
\begin{eqnarray*}
-&&\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T}
- \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_y ds_x\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_0^{l_1}\int_0^{l_2}\int_0^{\tilde l_2}\int_0^{\tilde l_3}
+ T_j &=& \v + [(0,l_1) \times (0,l_2) \times \{0\}]\\
+ T_k &=& \tilde \v + [ \{0\} \times (0,\tilde l_2) \times (0,\tilde l_3)], \text{ mit } \v,\tilde \v \in \R^3
+\end{eqnarray*}
+Wir setzen $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$.
+Daher gilt:
+\begin{eqnarray*}
+&&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+&=&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k}
+ \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+&=&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k}
\left ( ((x_1 + v_1)-\tilde v_1)^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- (y_3 +\tilde v_3))^2 \right)^{-1/2}
- dy_3 dy_2 dx_2 dx_1\\
+ ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
&=&\frac{1}{4\pi} \int_0^{l_1}\int_0^{l_2}\int_0^{\tilde l_2}\int_0^{\tilde l_3}
\left ( (x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(y_3-\delta_3)^2 \right)^{-1/2}
dy_3 dy_2 dx_2 dx_1