\newtheorem{bew}[defi]{Beweis}
\newtheorem{bem}[defi]{Bemerkung}
\newtheorem{alg}[defi]{Algorithmus}
-\newcommand{\beweis}{{\it Beweis. }}
+%\newcommand{\beweis}{{\it Beweis. }}
+\newenvironment{beweis}{{\it Beweis. }}{\hfill$\square$}
% \numberwithin{lem}{section}
\numberwithin{defi}{section}
\subsection{Netze}
Für die Diskretisierung des Problems wollen wir nun einige Begriffe definieren. Zunächst wollen wir ein achsenorientiertes Rechteck beschreiben, dessen Seiten parallel zu den Achsen des kartesischen Koordinatensystems liegen.
-\begin{defi}\label{math:def:T} Sei $\bs v \in \R^3$, $\bs a,\bs b \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$ mit $\bs a\neq \bs b$ und $\alpha, \beta \in \R$ mit $\alpha, \beta > 0$. Dann heißt
+\begin{defi}\label{math:def:T} Sei $\bs v \in \R^3$, $\bs a,\bs b \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$ mit $\bs a\neq \bs b$ und $a, b \in \R$ mit $a, b > 0$. Dann heißt
\begin{align*}
-T := \{\bs v + \lambda_1 \alpha {\bs a} + \lambda_2 \beta {\bs b} ~|~ \lambda_1,\lambda_2 \in[0,1]\}
+T := \{\bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b} ~|~ \lambda_1,\lambda_2 \in[0,1]\}
\end{align*}
achsenorientiertes Rechteck. Ferner heißt
\begin{align*}
- \gamma_T := [0,1]^2 \to T: \lambda_1,\lambda_2 \mapsto \bs v + \lambda_1 \alpha {\bs a} + \lambda_2 \beta {\bs b}
+ \gamma_T := [0,1]^2 \to T: \lambda_1,\lambda_2 \mapsto \bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b}
\end{align*}
die zu $T$ zugehörige Parametrisierung.
\end{defi}
unter bestimmten Voraussetzungen an die affinen Randstücke $T_j,T_k$ und den asymptotisch glatten Integranden $\kappa : \R^3 \times \R^3 \to \R$.
\subsection{Interpolation}
-An dieser stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. Ferner wollen wir mithilfe von Chebyshev-Knoten einen Fehlerschätzer für die Chebyshev'sche Interpolation auf Intervallen $[0,1]^d$ mit $d \in \N$ definieren. Im Folgenden bezeichnet $\P^p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$.
+An dieser stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. Ferner wollen wir mithilfe von Chebyshev-Knoten einen Fehlerschätzer für die Chebyshev'sche Interpolation auf Intervallen $[0,1]^d$ mit $d \in \N$ definieren. Im Folgenden bezeichnet $\P^p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$ auf $[0,1]$.
\begin{defi}
Für einen festen Grad $p \in \N$ und paarweise verschiedene Knoten $x_j \in [0,1]$ lautet das Lagrange'sche Interpolationsproblem:
\quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1])
\end{align}
für Chebyshev-Polynome.\\
-Ferner wollen wir nun die Interpolation auf Boxen der Gestalt $[0,1]^d$ mit $d\in\N$ einführen. Hierzu definieren wir uns mit dem Tensor Produkt den Interpolationsoperator
+Ferner wollen wir nun die Interpolation auf Boxen der Gestalt $[0,1]^d$ mit $d\in\N$ einführen. Hierzu definieren wir uns mit dem Tensorprodukt den Interpolationsoperator
\begin{align}
\I_p^{d} := \bigotimes_{i=1}^d \I_p \quad \text{ für Boxen } [0,1]^d.
\end{align}
\begin{align}
\Lambda_p := \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=1}^p \abs{L_j(x)}.
\end{align}
-Dann können wir eine Fehlerabschätzung für den Interpolationsoperator $\I_k^d$ anschreiben \todo{cite}
+Dann können wir eine Fehlerabschätzung für den Interpolationsoperator $\I_p^d$ anschreiben \todo{cite}
\begin{align}
\norm{u-\I_p^d u}_{\infty,[0,1]^d}
&\leq 4\frac{ 4^{-p}}{p!}\lambda_p^{d-1}\sqrt p\sum_{j=1}^d \norm{\partial_j^d u^{(p)}}_{\infty,[0,1]^d}
für alle Multiindizes $\alpha,\beta \in \N_0^d$ mit $\abs{\alpha}+\abs{\beta}\geq 1$ gilt.
\end{defi}
Wie wir im Folgenden sehen werden, lassen sich asymptotisch glatte Kernfunktionen gut durch Polynome interpolieren. Hierzu benötigen wir das folgende Lemma:
-\begin{lem}[BG, Theorem 3.2]\label{thm:sem:ipolnD} %Interpol über Glatten KERN nD
-Sei ${[0,1]^d} \subseteq \R^d$ eine achsenorientierte Box wobei die Intervalle $[0,1]$ abgeschlossen sind, und vorausgesetzt die Funktion $u$ erfüllt für Konstanten $C_u,\rho_u > 0$
+\begin{lem}\label{thm:sem:ipolnD} %Interpol über Glatten KERN nD
+Die Funktion $u \in \C^{\infty}([0,1])^d$ erfüllt für Konstanten $C_u,\rho_u > 0$
\begin{align}
\norm{\partial_j^nu}_{\infty,{[0,1]^d}} &\leq C_u \rho_u^nn!\quad\text{~für alle~} j \in \{1,\ldots,d\} \text{~und~} n \in \N_0.
\end{align}
Dann gilt für alle $p\in \N_0$
\begin{align}\label{math:sem:ipolnD}
- \norm{u-\I_p^d u}_{\infty,{[0,1]^d}} &\leq C_u 8e(1+\sqrt d\rho_u)\Lambda_k^d(p+1)\left(1+\frac{2}{\sqrt d\rho_u}\right)^{-(p+1)}.
-\end{align}\hfill$\square$
+ \norm{u-\I_p^d u}_{\infty,{[0,1]^d}} &\leq C_u 8e(1+\sqrt d\rho_u)\Lambda_p^d p\left(1+\frac{2}{\sqrt d\rho_u}\right)^{-p}.
+\end{align}
\end{lem}
% Quadratur -----------------------------------------
-\begin{lem}
+\begin{lem} \label{thm:sem:kett}
Sei $\kappa(\cdot , \cdot) : \R^6 \rightarrow \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion und sei weiterhin $ g: \R^4 \rightarrow \R^6$ die Parametrisierung der achsenorientierten Rechtecke $T_j$ und $T_k$
\begin{align}
g(\lambda) = (\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4)),
wobei $\gamma_j$ die Parametrisierung des achsenorientierten Rechtecks $T_j$ aus Definition \ref{math:def:T} ist.
Mit der Hilfsfunktion $t_{jk} : \N^4 \rightarrow \N^6$
\begin{align}
- t_{jk}(\bs z) =
+ t_{jk}(\alpha) =
\begin{pmatrix}
- \bs z_1 \cdot \bs a_j + \bs z_2 \cdot \bs b_j \\
- \bs z_3 \cdot {\bs a_k} + \bs z_4 \cdot {\bs b_k}
+ \alpha_1 \cdot \bs a_j + \alpha_2 \cdot \bs b_j \\
+ \alpha_3 \cdot {\bs a_k} + \alpha_4 \cdot {\bs b_k}
\end{pmatrix},
\end{align}
- wobei $\bs a_j,\bs b_j \in \R^3$ die paarweise verschiedenen Einheitsvektoren zur Parametrisierung aus Definition \ref{math:def:T} sind, gilt dann für die partiellen Ableitungen der Verknüpfung $\kappa \circ g$ die Kettenregel
+ wobei $\bs a_j,\bs b_j \in \R^3$ die paarweise verschiedenen Einheitsvektoren zur Parametrisierung $\gamma_j$ sind, gilt dann für die Verknüpfung $\kappa \circ g$ die Kettenregel
\begin{align*}
- \abs{\partial^z(\kappa \circ g)(x)}
- &= \diam(T_j)_{\bs a}^{z_1}\diam(T_j)_{\bs b}^{z_2} \diam(T_k)_{\bs a}^{z_3}\diam(T_k)_{\bs b}^{z_4} \abs{\partial^{t_{jk}(z)}(\kappa)(g(x))}.
+ \abs{\partial^{\alpha}(\kappa \circ g)(\lambda)}
+ &= \diam(T_j)_{\bs a}^{\alpha_1}\diam(T_j)_{\bs b}^{\alpha_2} \diam(T_k)_{\bs a}^{\alpha_3}\diam(T_k)_{\bs b}^{\alpha_4} \abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}(\kappa)(g(\lambda))}
\end{align*}
+ mit dem Multiindizes $\alpha \in \N_0^4$, wobei $\abs{\alpha} \geq 1$ gilt.
\end{lem}
-\beweis
-
-\begin{align}
- \kappa \circ g : \R^4 \to \R^6 \to \R
-\end{align}
- Kettenregel
-\begin{align}
- D(\kappa \circ g)(x) = D\kappa(g(x)) \circ D g(x) \quad \in \R^{1\times 4}
-\end{align}
-
-\begin{align}
- A_{1\ell} &= \partial_{\ell} \kappa(g(x))\\
- B_{\ell m} &= \partial_m g_{\ell}(x)
-\end{align}
-
-\begin{align}
- AB_{1m} & = \sum_{\ell=1}^6 A_{1\ell} B_{\ell m} = \sum_{\ell=1}^6 \underbrace{\partial_{\ell} \kappa(g(x))}_{\text{Asymp Glatt}} \cdot \underbrace{ \partial_m g_{\ell}(x)}_{\text{?}}
-\end{align}
-
-\begin{align}
- \partial_m (\kappa \circ g)(x) = \sum_{\ell=1}^6 \partial_{\ell} \kappa(g(x)) \cdot \partial_m g_{\ell}(x)
-\end{align}
-
-
-\begin{align}
- g(\lambda) = (\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4))
-\end{align}
-
-Für $\ell \in \{1,2,3\}$
-\begin{align}
- g_{\ell}(\lambda) &= \gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) = \bs v + \lambda_1 \alpha {\bs a} + \lambda_2 \beta {\bs b}\\
- \partial_{34} g_{\ell}(\lambda) &= 0\\
- \partial_1 g_{\ell}(\lambda) &= \alpha {\bs a}_{\ell}\\
- \partial_2 g_{\ell}(\lambda) &= \beta {\bs b}_{\ell}
-\end{align}
-
-Für $\ell \in \{4,5,6\}$
+\begin{beweis} Die Ableitung der Funktion $\kappa \circ g : \R^4 \to \R^6 \to \R$ ist
+\begin{align*}
+ D(\kappa \circ g)(\lambda) = D\kappa(g(\lambda)) \circ D g(\lambda) \qquad \in \R^{1\times 4}.
+\end{align*}
+Mithilfe der Jacobimatrizen $A \in \R^{1\times 6}$, $B \in\R^{6\times 4}$ und $m,\ell \in \N$
+\begin{align*}
+ A_{1\ell} &= \partial_{\ell} \kappa(g(\lambda)) \\
+ B_{\ell m} &= \partial_m g_{\ell}(\lambda)
+\end{align*}
+untersuchen wir zunächst die Ableitungen
\begin{align}
- g_{\ell}(\lambda) &= \gamma_k(\lambda_3,\lambda_4) = \tilde {\bs v} + \lambda_3 \tilde \alpha \tilde{ \bs a} + \lambda_4 \tilde \beta \tilde{ \bs b}\\
- \partial_{12} g_{\ell}(\lambda) &= 0\\
- \partial_3 g_{\ell}(\lambda) &= \tilde \alpha \tilde{ \bs a}_{\ell -3}\\
- \partial_4 g_{\ell}(\lambda) &= \tilde \beta \tilde{ \bs b}_{\ell -3}
+ \partial_m (\kappa \circ g)(\lambda) &= (AB)_{1m} = \sum_{\ell=1}^6 A_{1\ell} B_{\ell m} = \sum_{\ell=1}^6 \partial_{\ell} \kappa(g(\lambda)) \partial_m g_{\ell}(\lambda).
\end{align}
-
-
-
+Hierzu treffen wir einige Vorüberlegungen.\\
+Für die ersten drei Komponenten von $g$ gilt
+\begin{align*}
+ g_{1,2,3}(\lambda) &= \gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) = \bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b},
+\end{align*}
+mit $\bs a, \bs b \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$, $\bs a \neq \bs b$ und $a,b \in \R$ mit $a,b > 0$,
+wodurch sich die folgenden Ableitungen ergeben.
+\begin{align*}
+ \partial_1 g_{1,2,3}(\lambda) &= a {\bs a} &
+ \partial_2 g_{1,2,3}(\lambda) &= b {\bs b} &
+ \partial_{3,4} g_{1,2,3}(\lambda) &= 0
+\end{align*}
+Für die letzten drei Komponenten
+\begin{align*}
+ g_{4,5,6}(\lambda) &= \gamma_k(\lambda_3,\lambda_4) = \tilde {\bs v} + \lambda_3 \tilde a \tilde{ \bs a} + \lambda_4 \tilde b \tilde{ \bs b}
+\end{align*}
+können wir die Ableitungen analog anschreiben. Hierbei müssen wir nur beachten, dass sich die Indizierung von $ \tilde {\bs a}, \tilde {\bs b}$ ändert, weshalb wir hier die Komponenten
+\begin{align*}
+ \partial_{1,2} g_{\ell}(\lambda) &= 0 &
+ \partial_3 g_{\ell}(\lambda) &= \tilde a \tilde{ \bs a}_{\ell -3} &
+ \partial_4 g_{\ell}(\lambda) &= \tilde b \tilde{ \bs b}_{\ell -3}
+\end{align*}
+für $\ell \in \{4,5,6\}$ erhalten.\\
+Mit diesen Vorüberlegungen können wir, da $\kappa$ asymptotisch Glatt ist, $AB \in \R^{1 \times 4}$ anschreiben
{%
\newcommand{\mc}[3]{\multicolumn{#1}{#2}{#3}}
\begin{align}
- \partial_m (\kappa \circ g)(x) =
+ AB =
\begin{pmatrix}
- \partial_1 \kappa(g(x)) & \cdots & \partial_6 \kappa(g(x))
+ \partial_1 \kappa(g(\lambda)) & \cdots & \partial_6 \kappa(g(\lambda))
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
- \alpha {\bs a} & \beta {\bs b} & \mc{2}{c}{\bs 0}\\
- \mc{2}{c}{\bs 0} & \tilde \alpha \tilde{ \bs a} &\tilde \beta \tilde{ \bs b}
- \end{pmatrix}
+ a {\bs a} & b {\bs b} & \mc{2}{c}{\bs 0}\\
+ \mc{2}{c}{\bs 0} & \tilde a \tilde{ \bs a} &\tilde b \tilde{ \bs b}
+ \end{pmatrix}.
\end{align}
-
}%
-
-\begin{align}
+Wenn wir die Summen der Einträge $(AB)_{1m}$ genauer betrachten, sehen wir, dass jeweils nur ein Eintrag $\neq 0$ ist, da $\bs a, \bs b, \tilde {\bs a}, \tilde {\bs b} $ Einheitsvektoren sind.\\
+Mit der Hilfsfunktion
+\begin{align*}
ind : \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\} &\rightarrow \{ 1 , 2 , 3 \}\\
- x &\mapsto (1, 2, 3) \cdot x
-\end{align}
-
-\begin{align}
- \partial_1 (\kappa \circ g)(x) &= \alpha \cdot \partial_{ind(\bs a)}\kappa(g(x))\\
- \partial_2 (\kappa \circ g)(x) &= \beta \cdot \partial_{ind(\bs b)}\kappa(g(x))\\
- \partial_3 (\kappa \circ g)(x) &= \tilde \alpha \cdot \partial_{ind(\tilde{\bs a})+3}\kappa(g(x))\\
- \partial_4 (\kappa \circ g)(x) &= \tilde \beta \cdot \partial_{ind(\tilde{\bs b})+3}\kappa(g(x))
-\end{align}
-
- \begin{align}
- t_{jk} : \N^4 &\rightarrow \N^6\\
- \bs z &\mapsto
- \begin{pmatrix}
- z_1 \cdot \bs a + z_2 \cdot \bs b \\
- z_3 \cdot \tilde{\bs a} + z_4 \cdot \tilde{\bs b}
- \end{pmatrix}
-\end{align}
-
-\begin{align}
- \partial^z (\kappa \circ g)(x) &= \alpha^{z_1} \beta^{z_2} \tilde \alpha^{z_3} \tilde \beta^{z_4} \cdot \partial^{t_{jk}(z)}\kappa(g(x))
- \quad z \in \N^4
-\end{align}
-
-
-
-
-\hfill$\square$
-
+ \bs x &\mapsto (1, 2, 3) \cdot \bs x
+\end{align*}
+für die Einheitsvektoren mit dem Skalarprodukt $\cdot$, können wir den Gradient
+% \begin{equation}
+\begin{align*}
+% \begin{split}
+ \partial_1 (\kappa \circ g)(\lambda) &= a \cdot \partial_{ind(\bs a)}\kappa(g(\lambda))&
+ \partial_3 (\kappa \circ g)(\lambda) &= \tilde a \cdot \partial_{ind(\tilde{\bs a})+3}\kappa(g(\lambda))\\
+ \partial_2 (\kappa \circ g)(\lambda) &= b \cdot \partial_{ind(\bs b)}\kappa(g(\lambda))&
+ \partial_4 (\kappa \circ g)(\lambda) &= \tilde b \cdot \partial_{ind(\tilde{\bs b})+3}\kappa(g(\lambda))
+% \end{split}
+\end{align*}
+% \end{equation}
+genau anschreiben, wobei auch hier wieder auf die richtige Indizierung geachtet werden muss.\\
+Des Weiteren bestehen die ersten Ableitungen nur aus einem Skalar und dem asymptotisch Glatten Kern $\partial_{\ell}\kappa(g(\lambda))$, weshalb wir die Kettenregel beliebig oft anwenden können.
+Mithilfe der Funktion $t_{jk} : \N^4 \rightarrow \N^6$ können wir abschließend für Multiindizes $\alpha \in \N_0^4$ die partiellen Ableitungen $\partial^{\alpha} (\kappa \circ g)(\lambda)$ anschreiben
+\begin{align*}
+ \partial^\alpha (\kappa \circ g)(\lambda) &= a^{\alpha_1} b^{\alpha_2} \tilde a^{\alpha_3} \tilde b^{\alpha_4} \cdot \partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g(\lambda)).
+\end{align*}
+\end{beweis}
\begin{defi} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ achsenorientierte Rechtecke und sei $\zeta_Q > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_Q$-zulässig, genau dann wenn
\begin{align}\label{math:sem:zetaQ}
\dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}.
die Abschätzung
\begin{align*}
\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))&-\I_p^4\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))}_{\infty,[0,1]^4}
- \leq C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-(p+1)}.
+ \leq C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4 p\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-p}.
\end{align*}
\end{sat}
-\beweis Zunächst definieren wir die Konstanten
+\begin{beweis} Zunächst definieren wir die Konstanten
\begin{align*}
C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{\zeta_Q}{c_2}
\end{align*}
C_{\zeta_Q,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+2\rho_{\kappa})
\end{align*}
schreiben.\\
-Weiterhin können wir das Produkt der Seiten eines Rechtecks $T_j$ mithilfe der Diagonalen abschätzen
-\begin{align*}
- \diam_{\bs a}(T_j)^{\bs a \alpha}\diam_{\bs b}(T_j)^{\bs b \alpha}
- \leq \max\{\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs b}(T_j)\}^{\abs \alpha}
- \leq \diam(T_j)^{\abs \alpha}.
-\end{align*}
Bezeichnet $\gamma_j$ die Parametrisierung von $T_j$, so gilt aufgrund der Kettenregel
\begin{align*}
- \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa}
- &=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
+% \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa} &=
+ \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}
+ &= \diam(T_j)_{\bs a}^{\alpha_1}\diam(T_j)_{\bs b}^{\alpha_2} \diam(T_k)_{\bs a}^{\alpha_3}\diam(T_k)_{\bs b}^{\alpha_4} \abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}(\kappa)(g(x))}\\
% &=\diam_{\bs a}(T_j)^{\bs a \alpha}\diam_{\bs b}(T_j)^{\bs b \alpha}\diam_{\bs a}(T_k)^{\bs a \beta}\diam_{\bs b}(T_k)^{\bs b \beta}
% \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
&\leq\diam(T_j)^{\abs \alpha}\diam(T_k)^{\abs \beta}
&= C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-(p+1)}.
\end{align*}
Womit der Beweis abgeschlossen ist.
-\hfill$\square$
+\end{beweis}
% MatrixEINTRAG -------------------------------------------------
\begin{sat}\label{thm:sem:quad:V}
Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
\abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&\leq \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}
\end{align}
\end{sat}
-\beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt:
+\begin{beweis} Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt:
\begin{align*}
(A_p)_{jk}
&=\abs{T_j}\abs{T_k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\
&\leq \abs{T_j}\abs{T_k} C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^42(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\\
&= \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}.
\end{align*}
-\todo{\hfill$\square$\\}
+\todo{}\end{beweis}
\begin{lem} \label{thm:sem:switch}
Seien $Tj,T_k$ zwei Randstücke, $\kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion und
A_{jk} = A_{k_j}.
\end{align}
\end{lem}
-\todo{\beweis
-\hfill$\square$}
+\todo{\begin{beweis}
+\end{beweis}}
\begin{bem}
Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta$ zulässige Rechtecke. Ist $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ so kann Satz (\ref{thm:sem:quad:V}) angewendet werden um $A_{jk}$ zu approximieren. Im Fall $\diam(T_j) > \diam(T_k)$ können wir $A_{jk}$ approximieren indem wir mithilfe von $A_{jk} = A_{kj}$ und Satz (\ref{thm:sem:quad:V}), $A_{kj}$ berechnen.
\norm{A-A_p}_F \leq n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}.
\end{align*}
\end{sat}
-\beweis Betrachten wir zunächst die Differenz zwischen $A$ und $A_p$ in einem festen Eintrag $(A-A_p)_{jk}$. Sind $T_j$ und $T_k$ unzulässig ist die Differenz laut Definition $0$. Sind $T_j$ und $T_k$ hingegen zulässig so gilt nach Satz \ref{thm:sem:quad:V}
+\begin{beweis} Betrachten wir zunächst die Differenz zwischen $A$ und $A_p$ in einem festen Eintrag $(A-A_p)_{jk}$. Sind $T_j$ und $T_k$ unzulässig ist die Differenz laut Definition $0$. Sind $T_j$ und $T_k$ hingegen zulässig so gilt nach Satz \ref{thm:sem:quad:V}
% \begin{align}
% \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&= \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}
% \end{align}
&\leq \sum_{j,k=1}^n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2\\
&= n^2 \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2.
\end{align*}
-Durch ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung. \hfill$\square$
+Durch ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung. \end{beweis}
% \subsection{Quadratur über eine Achse}
% \subsubsection{Quadratur}
% &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}.
% \end{align*}
% \end{sat}
-% \beweis Zunächst definieren wir die Konstanten
+% \begin{beweis} Zunächst definieren wir die Konstanten
% \begin{align*}
% C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{\zeta_A}{c_2}
% \end{align*}
% &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)},
% \end{align*}
% womit der Beweis abgeschlossen ist.
-% \hfill$\square$
+% \end{beweis}
%
% \subsubsection{Matrix}
% \begin{sat}
% .
% \end{align}
% \end{sat}
-% \beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt:
+% \begin{beweis} Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt:
% \begin{align*}
% (A_p)_{jk}
% &=\abs{T_j}\abs{T_k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\
% &=\why{\sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]}}
% \end{align*}
%
-% \todo{\hfill$\square$\\}
+% \todo{\end{beweis}\\}
%
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