}
\begin{align}
\dist (T_j, T_k)&\geq \zeta \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}\\
- \dist (T_j,T_k) &\geq \zeta_1 \max\{ \diam_{|\bs a}(T_j) , \diam_{|\bs a}(T_k)\}
+ \dist (T_j,T_k) &\geq \zeta_1 \max\{ \diam_{|\bs a}(T_j) , \diam_{|\bs a}(T_k)\}\\
+ \dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}\\
\end{align}
\begin{align}
\int_{T_j} \int_{T_k} &\approx \q_{T_j} \int_{T_k}\\
\begin{defi}
Die Kern-Funktion $\kappa(\bs x,\bs y)$ heißt asymptotisch glatt, falls sie glatt ist für $\bs x \neq \bs y$ und Konstanten $c_1,c_2>0$ und eine Ordnung der Singularität $s \in \R$ existieren, sodass
- \begin{align*}\label{math:sem:glatt} % Glatter KERN
+ \begin{align}\label{math:sem:glatt} % Glatter KERN
\abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\partial_{\bs y}^{\beta}\kappa(\bs x, \bs y)}
&\leq c_1(c_2(\abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha} + \abs{\beta})!
- \end{align*}
+ \end{align}
für alle Multiindizes $\alpha,\beta \in \N_0^d$ mit $\abs{\alpha}+\abs{\beta}\geq 1$ gilt.
\end{defi}
Wie wir im Folgenden sehen werden, lassen sich asymptotisch glatte Kernfunktionen besonders gut durch Polynome interpolieren. Hierzu benötigen wir das Lemma \todo{cite}:
-\begin{lem}\label{math:sem:ipol} %Interpol über Glatten KERN 1D
-Sei $J \subseteq \R$ ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall und angenommen die Funktion $u$ erfüllt für Konstanten $C_u,\rho_u > 0$
-\begin{align*}
- \norm{u^{(n)}}_{\infty,J} &\leq C_u \rho_u^nn!\text{~~~für alle} n \in \N_0.
-\end{align*}
-Dann gilt für alle $k\in \N_0$
-\begin{align*}
-\min_{v \in \P_k} \norm{u-v}_{\infty,J} &\leq C_u 4e(1+\rho_u\abs{J})(k+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u\abs{J}}\right)^{-(k+1)}.
-\end{align*}
-\end{lem}
-\hfill$\square$
+% \begin{lem}\label{math:sem:ipol} %Interpol über Glatten KERN 1D
+% Sei $J \subseteq \R$ ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall und angenommen die Funktion $u$ erfüllt für Konstanten $C_u,\rho_u > 0$
+% \begin{align*}
+% \norm{\partial^n u}_{\infty,J} &\leq C_u \rho_u^nn!\text{~~~für alle} n \in \N_0.
+% \end{align*}
+% Dann gilt für alle $k\in \N_0$
+% \begin{align*}
+% \min_{v \in \P_k} \norm{u-v}_{\infty,J} &\leq C_u 4e(1+\rho_u\abs{J})(k+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u\abs{J}}\right)^{-(k+1)}.
+% \end{align*}
+% \end{lem}
+% \hfill$\square$
-\begin{lem}\label{math:sem:ipolnD} %Interpol über Glatten KERN nD
+\begin{lem}\label{thm:sem:ipolnD} %Interpol über Glatten KERN nD
Sei $B \subseteq \R^d$ ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall und angenommen die Funktion $u$ erfüllt für Konstanten $C_u,\rho_u > 0$
-\begin{align*}
- \norm{\partial_j^nu}_{\infty,B} &\leq C_u \rho_u^nn!\text{~~~für alle} n \in \N_0.
-\end{align*}
+\begin{align}
+ \norm{\partial_j^nu}_{\infty,B} &\leq C_u \rho_u^nn!\quad\text{~für alle~} j \in \{1,\ldots,d\} \text{~und~} n \in \N_0.
+\end{align}
Dann gilt für alle $k\in \N_0$
-\begin{align*}
-\min_{v \in \P_k} \norm{u-\I_k^Bu}_{\infty,B} &\leq C_u 8e\Lambda_k^d(1+\rho_u\diam (B))(k+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u\diam(B)}\right)^{-(k+1)}.
-\end{align*}
+\begin{align}\label{math:sem:ipolnD}
+ \norm{u-\I_k^Bu}_{\infty,B} &\leq C_u 8e(1+\rho_u\diam (B))\Lambda_k^d(k+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u\diam(B)}\right)^{-(k+1)}.
+\end{align}
\end{lem}
\hfill$\square$
+\subsection{volle Quadratur}
+\begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_Q > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_Q$-zulässig, genau dann wenn
+ \begin{align}\label{math:sem:zetaQ}
+ \dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}.
+ \end{align}
+ Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_Q$-unzulässig.
+\end{defi}
-\begin{align*}
- \Abs{\partial_x^n\partial_y^m\kappa}&=\Abs{\partial_x^n\partial_y^m\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
- &=\diam(T_j)^n \diam(T_k)^m \Abs{(\partial_x^n\partial_y^m\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}
-\end{align*}
-
-\begin{align*}
- \diam(T_j)^n& \diam(T_k)^m \Abs{(\partial_x^n\partial_y^m\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
- \leq& \diam(T_j)^n \diam(T_k)^m c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(x) - \gamma_k(y)})^{-(\abs{n}+\abs{m}+s)}(\abs{n}+\abs{m})!\\
- \leq & \max(\diam(T_j),\diam(T_k))^{n+m} c_1 (c_2 \abs{\bs x - \bs y})^{-(n+m+s)}(n+m)!\\
- = & \frac{c_1}{c_2 \abs{(\bs x - \bs y})^s} \left( \frac{\max(\diam(T_j),\diam(T_k))}{c_2 \abs{\bs x - \bs y}} \right)^{m+n}(\abs{n}+\abs{m})!\\
- \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!
-\end{align*}
-
-\begin{align*}
- \min_{v \in \P_k} \norm{u-\I_k^Bu}_{\infty,B} &\leq C_k 8e\Lambda_k^d(1+\rho_u\diam (B))(k+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u\diam(B)}\right)^{-(k+1)}.
-\end{align*}
-
-\subsection{1D Integral}
-\begin{lem}
- Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_1$-zulässige, affine Randstücke mit $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$. Weiterhin sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit den Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$.
- Dann gilt mit
- \begin{align}
- C_{\zeta,j,\kappa} &:= 4 e\frac{c_1}{(c_2 \todo{\dist(T_j,T_k)})^s}\left(1+\frac{\zeta}{c_2}\right)
- \end{align}
- die Abschätzung
+\begin{sat} Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
\begin{align*}
- \sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\cdot,\bs y)-\I_p\kappa(\cdot,\bs y)}_{\infty,T_{j| x_{\bs b}}}
- &\leq C_{\zeta,j,\kappa}(1+\Lambda_p)(p+1)\left( 1+ \frac{2c_1}{\zeta} \right)^{-(p+1)}.
+ C_{\zeta_Q,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_Q}{c_2} \right)
+ \end{align*}
+die Abschätzung
+ \begin{align*}
+ \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k}
+ &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-(p+1)}.
+ \end{align*}
+\end{sat}
+\beweis Zunächst definieren wir die Konstanten
+\begin{align*}
+ C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{\zeta_Q}{c_2}
\end{align*}
-\end{lem}
-\beweis Wir definieren die Konstanten
-\begin{align}
- C_{\kappa} &:= \frac{c_1}{(c_2 \todo{\dist(T_j,T_k)})^s}\geq 0 \quad \text{und} \quad
- \rho_{\kappa} := \frac{\zeta}{c_2}\geq 0
-\end{align}
-und können die Konstante $C_{\zeta,j,\kappa}$ dann schreiben als:
-\begin{align}
- C_{\zeta,j,\kappa} &= C_{\kappa} 4 e(1+\rho_{\kappa}).
-\end{align}
-Sei $\bs y \in T_k$ fest gewählt. Ist $\gamma_{j | x_{\bs b}}$ die Parametrisierung von $T_{j| x_{\bs b}}$, so gilt aufgrund $\abs{\gamma_{j|x_{\bs b}}'}=\abs{a_j\bs a_j}=\diam_{|\bs a}(T_j)$ und der Kettenregel
+und können dann die Konstante $C_{\zeta_Q,j,k}$ kurz
\begin{align*}
-\abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\kappa}
-&= \abs{\partial_{x_{\bs a}}^n(\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y))}
-= (\diam_{|\bs a}(T_j))^n\abs{(\partial_{x_{\bs a}}^n\kappa)(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)}.
+ C_{\zeta_Q,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\rho_{\kappa})
\end{align*}
-Mithilfe von \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_k$ gilt die Abschätzung\\
-\todo{Ist $\abs{\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a})-\bs y}$ wirklich $\abs{\bs x -\bs y} \Rightarrow \dist(T_j,T_k)$}
+schreiben.\\
+Bezeichnet $\gamma$ die Parametrisierung von $T$, so gilt aufgrund der Kettenregel
\begin{align*}
- (\diam_{|\bs a}(T_j))^n&\abs{(\partial_{x_{\bs a}}^n\kappa)(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)}\\
- &\leq \diam_{|\bs a}(T_j))^n c_1(c_2 \abs{\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a})-\bs y})^{-n-s}n!\\
- &= \diam_{|\bs a}(T_j))^n c_1(c_2 \todo{\abs{\bs x-\bs y}})^{-n-s}n!\\
- &= \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x-\bs y})^s} \left(\frac{\diam_{|\bs a}(T_j))}{c_2 \abs{\bs x-\bs y}} \right)^nn!\\
- &\leq C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!
+ \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa}&=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
+ &=\diam(T_j)^{\alpha} \diam(T_k)^{\beta} \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}.
\end{align*}
-Da $T_j$ und $T_k$ zulässig sind ist $\kappa$ auf $T_j \times T_k$ glatt. Daher sind die Voraussetzungen für \eqref{math:sem:ipol} erfüllt und es gilt
+Ferner gilt mit \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
\begin{align*}
- \min_{v \in \P^p} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-v}_{\infty,[0,1]}
- &\leq C_{\kappa} 4 e(1+\rho_{\kappa})(p+1)\left( 1+ \frac{2}{\rho_{\kappa}} \right)^{-(p+1)}\\
- &= C_{\zeta,j,\kappa}(p+1)\left( 1+ \frac{2}{\rho_{\kappa}} \right)^{-(p+1)}
+ \diam(T_j)^{\alpha}& \diam(T_k)^{\beta} \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
+ \leq& \diam(T_j)^{\alpha} \diam(T_k)^{\beta} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(x) - \gamma_k(y)})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
+ \leq & \max(\diam(T_j),\diam(T_k))^{\alpha+\beta} c_1 (c_2 \abs{\bs x - \bs y})^{-(\alpha+\beta+s)}(\alpha+\beta)!\\
+ = & \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x - \bs y})^s} \left( \frac{\max(\diam(T_j),\diam(T_k))}{c_2 \abs{\bs x - \bs y}} \right)^{\alpha+\beta}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
+ \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!.
\end{align*}
-für alle $p \in \N_0$, wobei $\P^p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$ ist. Daraus folgt also
+Laut Voraussetzung sind $T_j,T_k$ $\zeta_Q$-zulässig, weshalb $\kappa$ auf $T_j,T_k$ definitionsgemäß glatt ist. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt die Abschätzung mithilfe von \eqref{math:sem:zetaQ}
\begin{align*}
- \min_{v \in \P^p} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-v}_{\infty,[0,1]}
- &\leq C_{\zeta,j,\kappa}(p+1)\left( 1+ \frac{2c_1}{\zeta} \right)^{-(p+1)}
+ \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))&-\I_p^{[0,1]^4}\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))}_{\infty,[0,1]^4}\\
+ &\leq C_{\kappa} 8e(1+\rho_{\kappa})\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
+% &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
+ &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-(p+1)}.
\end{align*}
-und mithilfe von Satz \ref{math:ipol} gilt
+Weiterhin folgt für $T_j \times T_k$
\begin{align*}
- \norm{\kappa(\cdot,\bs y)-\I_p\kappa(\cdot,\bs y)}_{\infty,T_{j| x_{\bs b}}}
- &\leq C_{\zeta,j,\kappa}(1+\Lambda_p)(p+1)\left( 1+ \frac{2c_1}{\zeta} \right)^{-(p+1)}.
+ \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k}
+ &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-(p+1)},
\end{align*}
-Da $\bs y$ und $x_{\bs b}$ beliebig war und die rechte Seite unabhängig von $\bs y,x_{\bs b}$ ist, folgt die Behauptung für das Supremum.
+womit der Beweis abgeschlossen ist.
\hfill$\square$
+% \subsection{1D Integral}
+% \begin{lem}
+% Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_1$-zulässige, affine Randstücke mit $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$. Weiterhin sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit den Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$.
+% Dann gilt mit
+% \begin{align}
+% C_{\zeta,j,\kappa} &:= 4 e\frac{c_1}{(c_2 \todo{\dist(T_j,T_k)})^s}\left(1+\frac{\zeta}{c_2}\right)
+% \end{align}
+% die Abschätzung
+% \begin{align*}
+% \sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\cdot,\bs y)-\I_p\kappa(\cdot,\bs y)}_{\infty,T_{j| x_{\bs b}}}
+% &\leq C_{\zeta,j,\kappa}(1+\Lambda_p)(p+1)\left( 1+ \frac{2c_1}{\zeta} \right)^{-(p+1)}.
+% \end{align*}
+% \end{lem}
+% \beweis Wir definieren die Konstanten
+% \begin{align}
+% C_{\kappa} &:= \frac{c_1}{(c_2 \todo{\dist(T_j,T_k)})^s}\geq 0 \quad \text{und} \quad
+% \rho_{\kappa} := \frac{\zeta}{c_2}\geq 0
+% \end{align}
+% und können die Konstante $C_{\zeta,j,\kappa}$ dann schreiben als:
+% \begin{align}
+% C_{\zeta,j,\kappa} &= C_{\kappa} 4 e(1+\rho_{\kappa}).
+% \end{align}
+% Sei $\bs y \in T_k$ fest gewählt. Ist $\gamma_{j | x_{\bs b}}$ die Parametrisierung von $T_{j| x_{\bs b}}$, so gilt aufgrund $\abs{\gamma_{j|x_{\bs b}}'}=\abs{a_j\bs a_j}=\diam_{|\bs a}(T_j)$ und der Kettenregel
+% \begin{align*}
+% \abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\kappa}
+% &= \abs{\partial_{x_{\bs a}}^n(\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y))}
+% = (\diam_{|\bs a}(T_j))^n\abs{(\partial_{x_{\bs a}}^n\kappa)(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)}.
+% \end{align*}
+% Mithilfe von \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_k$ gilt die Abschätzung\\
+% \todo{Ist $\abs{\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a})-\bs y}$ wirklich $\abs{\bs x -\bs y} \Rightarrow \dist(T_j,T_k)$}
+% \begin{align*}
+% (\diam_{|\bs a}(T_j))^n&\abs{(\partial_{x_{\bs a}}^n\kappa)(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)}\\
+% &\leq \diam_{|\bs a}(T_j))^n c_1(c_2 \abs{\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a})-\bs y})^{-n-s}n!\\
+% &= \diam_{|\bs a}(T_j))^n c_1(c_2 \todo{\abs{\bs x-\bs y}})^{-n-s}n!\\
+% &= \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x-\bs y})^s} \left(\frac{\diam_{|\bs a}(T_j))}{c_2 \abs{\bs x-\bs y}} \right)^nn!\\
+% &\leq C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!
+% \end{align*}
+% Da $T_j$ und $T_k$ zulässig sind ist $\kappa$ auf $T_j \times T_k$ glatt. Daher sind die Voraussetzungen für \eqref{math:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt
+% \begin{align*}
+% \min_{v \in \P^p} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-v}_{\infty,[0,1]}
+% &\leq C_{\kappa} 4 e(1+\rho_{\kappa})(p+1)\left( 1+ \frac{2}{\rho_{\kappa}} \right)^{-(p+1)}\\
+% &= C_{\zeta,j,\kappa}(p+1)\left( 1+ \frac{2}{\rho_{\kappa}} \right)^{-(p+1)}
+% \end{align*}
+% für alle $p \in \N_0$, wobei $\P^p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$ ist. Daraus folgt also
+% \begin{align*}
+% \min_{v \in \P^p} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-v}_{\infty,[0,1]}
+% &\leq C_{\zeta,j,\kappa}(p+1)\left( 1+ \frac{2c_1}{\zeta} \right)^{-(p+1)}
+% \end{align*}
+% und mithilfe von Satz \ref{math:ipol} gilt
+% \begin{align*}
+% \norm{\kappa(\cdot,\bs y)-\I_p\kappa(\cdot,\bs y)}_{\infty,T_{j| x_{\bs b}}}
+% &\leq C_{\zeta,j,\kappa}(1+\Lambda_p)(p+1)\left( 1+ \frac{2c_1}{\zeta} \right)^{-(p+1)}.
+% \end{align*}
+% Da $\bs y$ und $x_{\bs b}$ beliebig war und die rechte Seite unabhängig von $\bs y,x_{\bs b}$ ist, folgt die Behauptung für das Supremum.
+% \hfill$\square$
+
\subsection{Matrix}
\begin{sat}
Seien $Tj,Tk$ zwei $\zeta_1$-zulässige affine Randstücke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$ und $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
projects / bacc.git / commitdiff