return d
-#print jacobi_tex(1215,1381)
+#Square and Multiply (x,k,*,e)
+def sqmult(x,k,func,e):
+ y = e;
+ while k:
+ if(k%2):
+ y = func(y,x)
+ x = func(x,x)
+ k = k/2
+ return y
+
+#Square and Multiply (x,k,*,e) mit TeX Ausgabe
+def sqmult_tex(x,k,func,e):
+ y = e;
+ print "\\begin{array}{cccc}"
+ print " x & y & k & k \\mod 2\\\\\\hline"
+ print " ", x, "&" , y , "&" , k, "&" , k%2, "\\\\"
+ while k:
+ if(k%2):
+ y = func(y,x)
+ x = func(x,x)
+ k = k/2
+ print " ", x, "&" , y , "&" , k, "&" , k%2, "\\\\"
+ print "\\end{array}"
+ return y
+
+
--- /dev/null
+\documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{scrartcl}
+\usepackage{template}
+\usepackage{boxedminipage}
+
+\begin{document}
+
+% \thispagestyle{plain}
+% \tableofcontents
+
+\uebung{5}{13. Juni 2012}
+
+\aufgabe{25}
+{$p=2^{43112609}-1$ ist die zur Zeit größte bekannte Primzahl. Wie kann man ihre Stellenanzahl am einfachsten berechnen und was sind ihre $3$ Endziffern?}
+
+\begin{align}
+ 2^{43112609} \in (\Z_{1000}, * \mod 1000, 1) \text{, d.h. }x=2, k=43112609
+\end{align}
+\begin{center}
+$\begin{python}
+import lib
+lib.sqmult_tex(2,43112609,lambda x,y:(x*y)%1000,1)
+\end{python}$
+\end{center}
+\begin{align}
+ p=2^{43112609} \mod 1000 &\equiv 512 \Rightarrow 2^{43112609}-1 \mod 1000 \equiv 511
+\end{align}
+
+
+\aufgabe{26}
+{Sei $(H,*,e)$ ein Monoid mit Einselement $e$, d.h. $*$ ist eine assoziative binäre Operation mit $e$ als Einselement. Um für $x \in H$ und ein $k \in \N$ die Potenz $x^{k} \in H$ zu berechnen kann man folgende Variante des ``Sqaure and Multiply''-Algorithmus benutzen.
+ \begin{enumerate}
+ \item Setze $y \leftarrow e$.
+ \item Falls $k=0$, dann return $y$.
+ \item Falls $k$ ungerade ist, setze $y \leftarrow y * x$.
+ \item Setze $x \leftarrow x*x, k \leftarrow \lfloor k/2 \rfloor$ und mache weiter bei $2$.
+ \end{enumerate}
+Man verwende ihn speziell zur Berechnung von $23 \cdot 41$ in $(\N,+,0)$, sowie zur Berechnung von $23^{41} \mod 100$ in $(\Z_{100},* \mod 100,1)$. (Wie kann man mit Hilfe von $\varphi(100)=40$ das Ergebnis der letzten Rechnung im Kopf überprüfen?)}
+\begin{align}
+ 23 \cdot 41 \in (\N,+,0) \text{, d.h. }x=23, k=41
+\end{align}
+
+\begin{center}
+$\begin{python}
+import lib
+lib.sqmult_tex(23,41,lambda x,y:(x+y),0)
+\end{python}$
+\end{center}
+
+\begin{align}
+ 23^{41} \in (\Z_{100}, * \mod 100, 1) \text{, d.h. }x=23, k=41
+\end{align}
+
+\begin{center}
+$\begin{python}
+import lib
+lib.sqmult_tex(23,41,lambda x,y:(x*y)%100,1)
+\end{python}$
+\end{center}
+
+Im Kopf:
+\begin{equation}
+ \label{eq:0}
+ \gcd(23,100)=1 \stackrel{\textsl{kl. Fermat}} \implies 23^{\varphi(100)} \equiv 1 \mod 100 \implies 23^{41} \equiv 23 \mod 100
+\end{equation}
+
+\aufgabe{27}
+{Man zeige mit Hilfe des Satzes von P\'{e}pin, dass die Fermatsche Zahl $F_{3}$ prim ist, wobei insbesondere die Reduktion $\mod F_{3}$ in der Weise durchzuführen sind, dass man die Quotienten und Reste bei der Division durch $2^{8}$ in geeigneter Weise verwendet.}
+$F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257$. Daher:
+\begin{subequations}
+\begin{align}
+ \label{eq:1}
+ 3 \\
+\rightsquigarrow 9 \mod F_{3}\\
+\rightsquigarrow 81 \mod F_{3} \\
+\rightsquigarrow 81\cdot 81=25*257+161 \Rightarrow A=25, B=161 \rightsquigarrow B-A \equiv 161-25=136 \mod F_{3}\\
+\rightsquigarrow 136*136=72*257+64, A=72,B=64 \rightsquigarrow B-A \equiv 64-72 \equiv -8 \equiv 249 \mod F_{3}\\
+\rightsquigarrow 249*249=242*257+49, A=242, B=49 \rightsquigarrow B-A \equiv 49-242 \equiv -193 \equiv 64 \mod F_{3} \\
+\rightsquigarrow 64*64=16*257, A=16, B=0 \rightsquigarrow B-A \equiv -16 \equiv 241 \mod F_{3}\\
+\rightsquigarrow 241*241=226*257+225, A=226, B=225 \rightsquigarrow B-A \equiv 225-226 \equiv -1 \mod F_{3}
+\end{align}
+\end{subequations}
+
+\aufgabe{28}
+{Man zeige für die Zahl $N=971$ mit Hilfe des Satzes von Brillhart-Lehmer-Selfridge, dass sie prim ist, indem man für $N-1$ nur die Kenntnis der einstelligen Primfaktoren voraussetzt.}
+Es gilt $N-1=970=2\cdot 5 \cdot 97$, d.h. $r=2$, und man setzt $p_{1}:=2, p_{2}:=5 \implies F=2\cdot 5=10$. \\
+Überprüfe Voraussetzungen aus Satz $2.22$: $N-1=R \cdot F \implies R=97$. Weiters gilt $\gcd(F,R)=1$.
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ a_{1}:=2: \quad 2^{970} \equiv 1 \mod 971, \gcd(2^{((N-1)/2)}-1,N)=\gcd(970,971)=1\\
+a_{2}:=2: \quad 2^{970} \equiv 1 \mod 791, \gcd(2^{((N-1)/5)}-1,N)=\gcd(1,971)=1
+ \end{align}
+\end{subequations}
+Daher sind alle Bedingungen des Satzes $2.22$ erfüllt. \\
+Es gilt
+\begin{equation}
+\sqrt[3]{N}=9.90238353655558 < F < 31.16087290176577=\sqrt{N}
+\end{equation}
+Weiters erhält man sofort:
+\begin{equation}
+ 971=c_{2}F^{2}+c_{1}F+1=9*F^{2}+7\cdot F +1 \implies c_{2}=9, c_{1}=7
+\end{equation}
+Nun gilt:
+\begin{equation}
+ c_{1}^{2}-4c_{2}=7^{2}-4\cdot 9=49-4*9=49-36=13
+\end{equation}
+ist kein Quadrat, daher ist $N$ nach dem Satz von Brillhart-Lehmer-Selfridge prim.
+\aufgabe{29}
+{Man finde eine explitzite Formel für die Folge $s_{n}$ im Lucas-Lehmer-Test, indem man zeigt, dass sich diese Folge als Teilfolge einer Lucasfolge $V_{n}$ mit gewissen Parametern P und Q interpretieren lässt. (Hinweis: Man gehe dazu aus von der Formel $V_{2k}=V_{k}^{2}-2Q^{k}$ für alle $k \in \N$).}
+$V_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}$, $V_{0}=2, V_{1}=P$\\
+$Q=1$ zwingend aus Rekursionsformel aus der Theorie der Lucas-Folgen. P=4? Dann gilt
+\begin{equation}
+D=P^{2}-4Q=4^{2}-4\cdot 1=16-4=12 \neq 0
+\end{equation}
+Die sich aus dem Lucas-Lehmer-Test ergebende Folge ist daher die Folge $V_{2j}, j \in \N^{*}$.
+\aufgabe{30}
+{Man wende den Lucas-Lehmer Test auf die Mersenn'sche Zahl $M_{7}=2^{7}-1=127$ an, wobei insbesondere die Reduktion $\mod M_{7}$ in der Weise durchzuführen sind, dass man die Quotienten und Reste bei der Division durch $2^{7}$ in geeigneter Weise verwendet.}
+$p=7$ ist eine ungerade Primzahl, daher ist der Lucas-Lehmer-Test anwendbar, setze $s_{1}:=4$.
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ s_{2}=16-2=14\\
+ s_{3}=14^{2}-2=194=1\cdot 127+66 , A=1, B=66 ,A+B=1+6=7 \equiv 67 \mod M_{7} \\
+ s_{4}=67^{2}-2=4487=35\cdot 127+7, A=35, B=7, A+B=35+7=42 \equiv 42 \mod M_{7} \\
+s_{5}=42^{2}-2=1762=13\cdot 127+98 , A=13, B=98 , A+B=13+98=111 \equiv 111 \mod M_{7} \\
+s_{6}=111^{2}-2=12319=96\cdot 127+31, A=96, B=31, A+B=96+31=127 \equiv 0 \mod M_{7}
+ \end{align}
+\end{subequations}
+\end{document}
\ No newline at end of file
projects / zahlenTA.git / commitdiff