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+++ b/UE/ue2.tex
@@ -174,6 +174,11 @@ womit die Summe über die gleichen Indizes gebildet wird.
 \subsection*{11. Aufgabe}
 {\texttt{Sei $p$ eine Primzahl und für jeden positiven Teiler $d$ von $p-1$ sei $A_{d}$ die Menge derjenigen Elemente in $\lbrace 1,2,\ldots, p-1 \rbrace$ mit der Ordnung $d$.  Wieviele Elemente hat ein $A_{d}$ unter der Voraussetzung, dass es nichtleer ist?  Warum folgt daraus mit Hilfe von Aufgabe $10$, dass keine der Mengen $A_{d}$ leer sein kann, insbesondere also $A_{p-1}$ nicht, d.h. es gibt eine Primitivwurzel mod $p$?}} \\
 Es gilt folgende Eigenschaft der Ordnung eines Elements $x$:
+Angenommen die Menge $A_{d}$ sei nichtleer, und gelte $\mu \in A_{d}$.  Dann hat gilt klarerweise $ord(\mu)=d$, d.h. $\mu$ löst
+\begin{equation}\label{poly}
+x^{d} - 1 = 0
+\end{equation}
+Weiters sind auch alle Potenzen $\mu^{i}, i \in \lbrace 2,3,\ldots, d \rbrace$ Lösungen von \eqref{poly}, und sie sind alle paarweise verschieden, da $\mu$ Ordnung $d$ hat.  Als Polynom über einem Körper hat $x^{d}-1$ genau $d$ Nullstellen, die alle durch Potenzen von $\mu$ gegeben sind.  Daher ist die Menge $A_{d}$ zyklisch.  
 \begin{equation}\label{ord}
   ord(x)=m \implies ord(x^{k})=\frac{m}{\gcd(k,m)}
 \end{equation}
@@ -187,8 +192,9 @@ dass,
 \end{equation}
 insbesondere erhält man daraus für die Mächtigkeiten
 \begin{equation}
-  \varphi(d) \leq \vert A_{d} \vert
+  \varphi(d) = \vert A_{d} \vert
 \end{equation}
+
 \subsection*{12. Aufgabe}
 Ansatz von der Tafel:
 \begin{align}