\documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{article}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
-\usepackage{amsmath,amssymb}
+\usepackage{amsmath,amssymb,ulsy}
\usepackage{fullpage}
\def\P{\mathbb{P}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\R{\mathbb{R}}
+\def\Z{\mathbb{Z}}
+\def\C{\mathbb{C}}
\def\oder{\vee}
\def\und{\wedge}
+\def\kgV{\text{kgV}}
+\def\ggT{\text{ggT}}
+\def\sgn{\text{sgn}}
+\def\mod{\text{~mod~}}
+
%opening
\title{}
\author{Peter Schaefer}
\subsection*{Bew. 1.16}
\begin{enumerate}
- \item Sei $p\in\P$ und es gelte $p|av \und p \nmid a$ , d.h. $ggT(p,a)=1$. nach dem Lemma von Euklid (Satz 1.11) folgt daher $p|b$.
+ \item Sei $p\in\P$ und es gelte $p|av \und p \nmid a$ , d.h. $\ggT(p,a)=1$. nach dem Lemma von Euklid (Satz 1.11) folgt daher $p|b$.
\item Ist umgekehrt die Bedingung des Satzes erfüllt und gilt $p = a\cdot b$ mit $(a,b \in \N *$, so gilt einerseits $a|p \und b|p$, aber auch $p|a \oder p|b$ nach VS. Daraus folgt aber sofort $p = a \oder p= b,Q$
\end{enumerate}
\hfill$\blacksquare$
\subsection*{Bew. 1.20}
\begin{eqnarray*}
- ggT(a,b) = ggT(a,c) = 1 &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : xa+yb = ua +vc = 1\\
+ \ggT(a,b) = \ggT(a,c) = 1 &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : xa+yb = ua +vc = 1\\
&\Rightarrow& \exists x,y,u,v : (xa +yb)(ua +vc) = (xau +xvc +ybu) a +(yv)(bc) = 1\\
- &\Rightarrow& \text{Jeder gem. Teiler von} a \text{ und }c \text{ teilt auch }1 \Rightarrow ggT(a,c) =1
+ &\Rightarrow& \text{Jeder gem. Teiler von} a \text{ und }c \text{ teilt auch }1 \Rightarrow \ggT(a,c) =1
\end{eqnarray*}
\hfill$\blacksquare$
\end{displaymath}
Wenn $p| n \und p| n-1 = p_1p_2 \cdots p_r$ folgt daraus
\begin{displaymath}
- p|1 = N-1(N-1) \text{Wiederspruch!}
+ p|1 = N-1(N-1) \Rightarrow $\blitza$
\end{displaymath}
Also ist $| \P | = \infty$, \hfill$\blacksquare$
\subsection*{Anmerkung 1.21}
in der Gegend von $10^{100}$ : jede $\approx 230.$ Zahl ist eine Primzahl
\subsection*{Riemansche Vermutung}
-\begin{displaymath}
- \zeta(s)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^s} \hfill (re(s) >1)
-\end{displaymath}
+\begin{align}
+ \zeta(s)&= \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^s} \hfill (re(s) >1)
+\end{align}
Analytisch fortzetzen:
-\begin{eqnarray*}
- \zeta(s) & = & 1 + \frac 1{2^s} + \frac 1{3^s} + \frac 1{4^s} + \frac 1{5^s} + \cdots\\
-\frac 2 {2^s}\zeta(s) & = & \frac 2{2^s} + \frac 2{4^s} + \frac 2{6^s} + \cdots\\
-(1-2^{1-s})\zeta(s) & = & 1 - \frac 1{2^s} + \frac 1{3^s} - \frac 1{4^s} + \frac 1{5^s} - \cdots = \eta(s)\\
-\zeta(s) & = & \frac{\eta(s)}{(1-2^{1-s})}
-\end{eqnarray*}
+\begin{align}
+ \zeta(s) & = 1 + \frac 1{2^s} + \frac 1{3^s} + \frac 1{4^s} + \frac 1{5^s} + \cdots\\
+\frac 2 {2^s}\zeta(s) & = \frac 2{2^s} + \frac 2{4^s} + \frac 2{6^s} + \cdots\\
+(1-2^{1-s})\zeta(s) & = 1 - \frac 1{2^s} + \frac 1{3^s} - \frac 1{4^s} + \frac 1{5^s} - \cdots = \eta(s)\\
+\zeta(s) & = \frac{\eta(s)}{(1-2^{1-s})}
+\end{align}
Riemann-Siegel-Formel?
+\begin{align}
+ L_x(s) &s= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} (Re(s) \geq 1)
+\end{align}
+
+$\chi : \Z \to \C$ ist ein Charakter $\mod m$, d.h.
+\begin{enumerate}
+ \item $\chi(ab) = \chi(a)\chi(b) \forall a,b\in\Z$
+ \item $ a \equiv b$ und $m \Rightarrow \chi (a) = \chi(b)$
+ \item $\chi(a) = 0 \Leftrightarrow \ggT(a,m) \neq 1$
+\end{enumerate}
+Für die analytische Fortsetzung von $L_{\lambda}(s)$ auf krit. Streifen gilt Nullstellen die gleiche Aussage.
+%
+\begin{align}
+ \zeta(s) &= \prod_{p \in \mathbb{P}} \underbrace{\frac 1 {1 - \frac 1 {p^3}}} (Re(s) > 1)\\
+ & \sum_{k=0}^{\infty} \frac 1 {p^{ks}} \to \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {n^s}
+\end{align}
+$\pi(x) = li(x) + O\left(\sqrt x \ln x\right) \Leftrightarrow $ Riemansche Vermutung (R. Koch)
+
+
+\subsection*{Beweis 2.2}
+$a \equiv b \mod m \und c \equiv\mod m \Rightarrow m| a-b \und m| c-d$
+\begin{align}
+ &\Rightarrow
+ \begin{cases}
+ m|(a-b)\pm(c-d) = (a\pm x) - (b\pm d)\\
+ m| a(b)c+b(c-d) = ac -bd
+ \end{cases}\\
+ &\Rightarrow
+ \begin{cases}
+ a\pm c \equiv b \pm d \mod m\\
+ ac \equiv bd \mod m
+ \end{cases}
+\end{align}
+\begin{align}
+ \forall a \in \Z : m|a-a &\Rightarrow a \equiv a\mod m\\
+ \forall a,b \in \Z : a \equiv b \mod m &\Rightarrow m|a-b\\
+ &\Rightarrow m|b-a\\
+ &\Rightarrow b\equiv a \mod m\\
+ \forall a,b,c\in \Z:a\equiv b \mod m \und b \equiv c \mod m &\Rightarrow m|a-b \und m|b-c \\
+ &\Rightarrow m|(a-b)+(b-c) = a-c\\
+ &\Rightarrow a\equiv c\mod m
+\end{align}
+
+\subsection*{Beispiel 2.2}
+$(\Z_m,f m=z,3,4)$
+\begin{align}
+m=2:&&
+\begin{matrix}
+ +& 0& 1\\
+ 0& 0& 1\\
+ 1& 1& 0
+\end{matrix} &
+\begin{matrix}
+ \cdot& 0& 1\\
+ 0& 0& 0\\
+ 1& 0& 1
+\end{matrix}\\
+\end{align}
+
+\subsection*{Beweis 2.5}
+Die Bedingung $d:= \ggT(a,m) | b$ ist notwendig für Lösbarkeit wegen
+\begin{align}
+ a\tilde x \equiv b \mod m \Rightarrow \exists k\in \Z : a\tilde x *km = b \Rightarrow d| b ( \text{wegen} d|a ,d|m \text{also auch} d|ax+km)
+\end{align}
+Ist umgekehrt die Bedingung $d|m$ efüllt und $d=ra+sm $ mit $r,s\in \Z$ eine Darstellung von $d$ als Linearkombination von $a\ \mod m$. Dann gilt
+\begin{align}
+ ra+sm&=d \\
+ r\frac bd a +s \frac b d m &= b\\
+ (r \frac b d)a &\equiv b \mod m
+\end{align}
+Also ist dann $x = r \frac b d $ eine Lösung von $a x \equiv b \mod m$
+Sind ferner $u \und v$ zwei Lösungen von $ax \equiv b\mod m$ , so gilt
+\begin{align}
+ au \equiv av \equiv b \mod m &\Rightarrow m | a(u-v)\\
+ &\Rightarrow \frac m d | \frac a d (u-v) \und (\ggT(\frac m d,\frac a d) = 1\\
+ &\Rightarrow \frac m d | u-v \Rightarrow u\equiv v \mod \frac md
+\end{align}
+Alle $\mod m$ in kongruenten Lösungen sind daher gege. durch $u, u+ \frac m d, u + \frac{2m}d,\dots, u+(d-1)\frac m d$ \hfill $blacksquare$
\end{document}
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