morekeywords=[3]{quad,gauss_nodes,gauss_size,HILBERT3D_LAPLACE_SLPRECTANGLE_HPP_GUARD_,GAUSS_NODES,DEBUG,PARALLEL,
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morekeywords=[4]{add,sub,set,dimOfThird,getSCorner,distT,dimOfVec,
- sign,max,min,switch_site,switch_dim ,dist,dist2,dist_s2,dist_s,
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\newcommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
-
-
\newcommand{\showMesh}[2][]{\begin{figure}[ht]
\caption{#1}
\label{#2}
\psfrag{T3}{\scriptsize $T_3$}
\psfrag{T4}{\scriptsize $T_4$}
-\author{Peter Schaefer}
-\title{Stabile Berechnung der Galerkin-Matrix für das Einfachschichtpotential auf anisotrop verfeinerten Gittern}
-
\begin{document}
+% \todo{
+\input{titelseite}
+% }
\tableofcontents
\clearpage
\todo{
\begin{itemize}
\item kuerzer als in Ferraz-DA \cite{fer:errbem}
- \item insbesondere fastregulaere Triangulierung + K-Gitter (vgl. Ferraz-DA)
+ \item insbesondere fastregulaere Triangulierung + K-Gitter (vgl. Ferraz-DA)
\end{itemize}
}
\subsection{Netze}
}
\noindent
-Ziel diese Abschnitts ist die approximative Berechnung des Integrals
+Ziel dieses Abschnitts ist die approximative Berechnung des Integrals
\begin{eqnarray}\label{math:gal:kap}
A_{jk} &=& \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}.
\end{eqnarray}
$\enorm{a}-\norm{b}$
-\section{Analytische Berechnung von Integral im Fall des
+\section{Analytische Berechnung vom Integral im Fall des
Einfachschichtpotentials}
\todo{
\begin{itemize}
}
\noindent
In diesem Abschnitt wollen wir uns mit der analytischen Berechnung der Galerkin-Matrix
-\begin{eqnarray}\label{math:V}
+\begin{eqnarray*}\label{math:V}
A_{jk} &=& \frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x} \in \R^3.
-\end{eqnarray}
+\end{eqnarray*}
mit zwei beschränkte, achsenorientierte Rechtecke $T_j,T_k \subseteq\R^3$ beschäftigen.
-
-\noindent
-Wir betrachten zunächst die Berechnung von zwei Integralen, die dabei auftreten werden.
-\subsection{einfach Integral}
-Wir bezeichnen
+Dazu wollen wir angelehnt an \cite{mai:3dbem} zwei Integrale anschauen, welche durch das Aufspalten des Integrals $A_{jk}$ auftreten.
+\\\noindent
+\begin{lem}
+Für das Integral
\begin{eqnarray*}
g(p;y;x;\lambda) &:=& \int \{(x-y)^2 + \lambda^2 \}^p dy
\end{eqnarray*}
-Da $g(p;y;x;\lambda)$ nur für bestimmte Parameter $p$ und $\lambda$ benötigt wird, werden hier nur die entscheidenden Fälle betrachtet.
+mit $\lambda = 0$ gilt die Formel mit beliebigen Skalaren $x,y,p \in \R$
+\begin{eqnarray*}
+ (2p+1)g(p;y;x;0) = \begin{cases} \sgn(y-x) \log \abs{y-x}^{2p} & p=-1/2 \\(y-x) \abs{y-x}^{2p} & sonst \end{cases}
+\end{eqnarray*}
+falls für $p\leq-/2$ $x$ außerhalb des betrachteten Integrationsbereichs liegt.
Für beliebige $x,p,y, \lambda \in \R$ mit $\lambda \neq 0$ gilt die Rekursionsformel:
\begin{eqnarray*}
(2p+1)g(p;y;x;\lambda) = (y-x) \{(y-x)^2+\lambda^2\}^p + 2p\lambda g(p-1;y;x;\lambda)
\end{eqnarray*}
-Für den Parameter $p \in \{1/2 , 0 , -1/2 , -1, -3/2\}$ gilt explizit:
+Im weiteren werden wir noch die Formeln für $p \in \{1/2 , 0 , -1/2 , -1, -3/2\}$
\begin{eqnarray*}
g(1/2;y;x;\lambda) &=& \frac{y-x}{2}\{(y-x)^2+\lambda^2\}^{1/2} + \frac{\lambda^2}{2} \text{arsinh} \frac{y-x}{|\lambda|}\\
g(0;y;x;\lambda) &=& y-x\\
g(-1;y;x;\lambda) &=& \frac{\text{arctan} \frac{y-x}{|\lambda|}}{ \todo{\lambda}}\\
g(-3/2;y;x;\lambda) &=& \frac{y-x}{\lambda^2}\{(y-x)^2+\lambda^2\}^{-1/2}
\end{eqnarray*}
+benötigen, welche alle in \cite[Seite 2-3]{mai:3dbem} bewiesen wurden.
+\end{lem}
+\todo{Maischak Fehler in $g(-1;y;x;\lambda)$}
-\subsection{doppel Integral}
+\begin{lem}
+Des Weiteren werden wir das Integral
\begin{align*}
G(p;y_1;y_2;x_1;x_2;\lambda) &:= \int \int \{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \lambda^2\}^p dy_2 dy_1
\end{align*}
-Im Zuge der Berechnungen werden auch hier nur die Funktionen für bestimmte Parameter benötigt, die Untersuchung der restlichen werden wir hier nicht durchführen.
-\\\noindent
-Betrachten wir zunächst den Fall $p = -3/2$ und unterscheiden wir auch zwischen $\lambda = 0 \wedge \lambda \neq 0$, denn alle weiteren für uns relevanten Fälle lassen sich auf diese Beiden zurück führen:
+betrachten, welches sich für den den Fall $p = -3/2$ und $\lambda = 0 \wedge \lambda \neq 0$ schreiben lässt als:
\begin{align*}
G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,0) =& - \frac{\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}}{(y_1-x_1)(y_2-x_2)}\\
G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) = &- \frac{\sgn\{(y_1-x_1)(y_2-x_2)\}}{2|\lambda|}\\
- &\cdot \arccos\left( \frac{-2(y_1-x_1)^2(y_2-x_2)^2}{\{(y_1-x_1)^2+\lambda^2\}\{(y_2-x_2)^2+\lambda^2\}} +1 \right)
+ &\cdot \arccos\left( \frac{-2(y_1-x_1)^2(y_2-x_2)^2}{\{(y_1-x_1)^2+\lambda^2\}\{(y_2-x_2)^2+\lambda^2\}} +1 \right).
\end{align*}
-Für alle weiteren relevante Fälle $p = -3/2 +k : k \in \N\backslash0$ lässt sich folgende Rekursionsformel aufstellen:
+Für alle weiteren relevante Fälle $p = -3/2 +k : k \in \N\backslash0$ können wir folgende Rekursionsformel aufstellen:
\begin{align*}
(2p+2)G(p;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) =& 2p\lambda^2 G(p-1;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda)\\
&+ (y_1-x_1)g(p;y_2;x_2;\sqrt{(y_1-x_1)^2+\lambda^2})\\
- &+ (y_2-x_2)g(p;y_1;x_1;\sqrt{(y_2-x_2)^2+\lambda^2})
-\end{align*}
+ &+ (y_2-x_2)g(p;y_1;x_1;\sqrt{(y_2-x_2)^2+\lambda^2}),
+\end{align*} welche ebenfalls in \cite[Seite 5-7]{mai:3dbem} bewiesen wurden.
+\end{lem}
\subsection{Integral über zwei Elemente}
-Bei der Berechnung von \ref{math:V} haben wir geometrisch zwischen zwei Fällen zu unterschei den. Entweder die beiden Elemente liegen in parallelen Ebenen oder in orthogonalen Ebenen.
+Bei der Berechnung von \eqref{math:V} werden wir geometrisch zwischen zwei Fällen zu unterscheiden. Entweder die beiden Elemente liegen in parallelen Ebenen oder in orthogonalen Ebenen.
\subsubsection{Parallele Elemente}
-Liegen die beiden Elemente parallel zueinander können wir sie darstellen als:
+Liegen die beiden Elemente parallel zueinander, können wir sie wie in \cite[Seite 13]{mai:3dbem} gezeigt, darstellen als:
\begin{eqnarray*}
- T_j &=& \v + [(0,l_1) \times (0,l_2) \times \{0\}]\\
- T_k &=& \tilde \v + [(0,\tilde l_1) \times (0,\tilde l_2) \times \{0\}], \text{ mit } \v,\tilde \v \in \R^3
+ T_j &=& \v + [(0,s_1) \times (0,s_2) \times \{0\}]\\
+ T_k &=& \tilde \v + [(0,\tilde s_1) \times (0,\tilde s_2) \times \{0\}], \text{ mit } \v,\tilde \v \in \R^3.
\end{eqnarray*}
-Wir setzen $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$.
-Daher gilt:
+Wir setzen $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$, dann können wir
+\begin{eqnarray*}
+ \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+\end{eqnarray*} umformen zu:
\begin{eqnarray*}
-&&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k}
- \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_y ds_x\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k}
+&=& \int_{T_j} \int_{T_k}
+ \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+&=& \int_{T_j} \int_{T_k}
\left ( ((x_1 + v_1)-(y_1 +\tilde v_1))^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- \tilde v_3)^2 \right)^{-1/2}
ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_0^{l_1}\int_0^{l_2}\int_0^{\tilde l_1}\int_0^{\tilde l_2}
+&=& \int_0^{s_1}\int_0^{s_2}\int_0^{\tilde s_1}\int_0^{\tilde s_2}
\left ( (x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2 \right)^{-1/2}
- dy_2 dy_1 dx_2 dx_1
+ dy_2 dy_1 dx_2 dx_1.
\end{eqnarray*}
-die Stammfunktion $F_{par}$, welche das Integral über zwei parallele Elemente löst.
+Dies können wir als Stammfunktion
\begin{eqnarray*}
-F_{par}(x_1,x_2,y_1,y_2,\delta_1,\delta_2,\delta_3) &:=& \int \int \int \int \left\{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\right\}^{-1/2}dy_2 dy_1 dx_2 dx_1
+F_{par}(x_1,x_2,y_1,y_2,\bs \delta) &:=& \int \int \int \int \left\{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\right\}^{-1/2}dy_2 dy_1 dx_2 dx_1
\end{eqnarray*}
+schreiben, welche das Integral über zwei parallele Elemente löst.
+
\subsubsection{Orthogonale Elemente}
-Liegen die beiden Elemente orthogonal zueinander können wir sie darstellen als:
+Analog können wir orthogonal liegende Elemente wie in \cite[Seite 14]{mai:3dbem} gezeigt, schreiben als:
\begin{eqnarray*}
- T_j &=& \v + [(0,l_1) \times (0,l_2) \times \{0\}]\\
- T_k &=& \tilde \v + [ \{0\} \times (0,\tilde l_2) \times (0,\tilde l_3)], \text{ mit } \v,\tilde \v \in \R^3
-\end{eqnarray*}
-Wir setzen $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$.
-Daher gilt:
+ T_j &=& \v + [(0,s_1) \times (0,s_2) \times \{0\}]\\
+ T_k &=& \tilde \v + [ \{0\} \times (0,\tilde s_2) \times (0,\tilde s_3)], \text{ mit } \v,\tilde \v \in \R^3
+\end{eqnarray*} und setzen wir $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$.
+Dann können wir
+\begin{eqnarray*}
+ \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+\end{eqnarray*} umformen zu:
\begin{eqnarray*}
-&&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k}
+&=& \int_{T_j} \int_{T_k}
\left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k}
+&=& \int_{T_j} \int_{T_k}
\left ( ((x_1 + v_1)-\tilde v_1)^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- (y_3 +\tilde v_3))^2 \right)^{-1/2}
ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_0^{l_1}\int_0^{l_2}\int_0^{\tilde l_2}\int_0^{\tilde l_3}
+&=& \int_0^{s_1}\int_0^{s_2}\int_0^{\tilde s_2}\int_0^{\tilde s_3}
\left ( (x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(y_3-\delta_3)^2 \right)^{-1/2}
dy_3 dy_2 dx_2 dx_1
\end{eqnarray*}
-Entscheidend ist also die Stammfunktion $F_{ort}$
+Dies können wir ebenfalls als Stammfunktion
\begin{eqnarray*}
-F_{ort}(x_1,x_2,y_1,y_2,\delta_1,\delta_2,\delta_3) &:=& \int \int \int \int \left\{(x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(-y_3-\delta_3)^2\right\}^{-1/2}
+F_{ort}(x_1,x_2,y_1,y_2,\bs \delta) &:=& \int \int \int \int \left\{(x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(-y_3-\delta_3)^2\right\}^{-1/2}
dy_3 dy_2 dx_2 dx_1
\end{eqnarray*}
+für orthogonal liegende Elemente schreiben.
% \subsection{Bestimmtes Integral}
% \begin{eqnarray*}
% \end{eqnarray*}
-
-
\section{fasträguläre Partionierung in \Matlab}
\todo{
\begin{itemize}
\item plot
\end{enumerate}
}
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-\lstinputlisting[language=oM]{../src/compute.m}
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