\begin{align*}
\dist(T_j,T_k) &= \min \{\abs{\bs x-\bs y} ~|~ \bs x \in T_j,\bs y \in T_k\},
\end{align*}
-wobei das Minimum aufgrund der Kompaktheit von $T_j, T_k$ angenommen wird.
+wobei das Minimum aufgrund der Kompaktheit von $T_j, T_k$ angenommen wird. Weiterhin definieren wir auch den Abstand in einer bestimmten Richtung $\bs a$ durch
+\begin{align*}
+ \dist_{\bs a}(T_j,T_k) &= \min \{\bs a^T \cdot (\bs x-\bs y) ~|~ \bs x \in T_j,\bs y \in T_k\},
+\end{align*}
+mit dem Skalarprodukt $\cdot$ und $\bs a \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$.
\end{defi}
Mit diesen Vorüberlegungen definieren wir uns die Diskretisierung des Randes $\Gamma$.
\begin{defi}
wobei $\bs a_j,\bs b_j \in \R^3$ die paarweise verschiedenen Einheitsvektoren zur Parametrisierung $\gamma_j$ sind und für den Index $k$ analog, gilt dann für die Verknüpfung $\kappa \circ g$ die Kettenregel
\begin{align*}
\abs{\partial^{\alpha}(\kappa \circ g)(\lambda)}
- &= \diam(T_j)_{\bs a}^{\alpha_1}\diam(T_j)_{\bs b}^{\alpha_2} \diam(T_k)_{\bs a}^{\alpha_3}\diam(T_k)_{\bs b}^{\alpha_4} \abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa (g(\lambda))}
+ &= \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha_1}\diam_{\bs b}(T_j)^{\alpha_2} \diam_{\bs a}(T_k)^{\alpha_3}\diam_{\bs b}(T_k)^{\alpha_4} \abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa (g(\lambda))}
\end{align*}
für jeden Multiindex $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$, mit $\abs{\alpha} \geq 1$.
\end{lem}
C_{\zeta_Q,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)
\end{align*}
die Abschätzung
+% \begin{align*}
+% \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))&-\I_p^4\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))}_{\infty,[0,1]^4}
+% \leq C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4 (p+1)\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{-(p+1)}.
+% \end{align*}
\begin{align*}
- \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))&-\I_p^4\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))}_{\infty,[0,1]^4}
+ \norm{\kappa(\cdot,\cdot)&-\I_p^4\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j \times T_k}
\leq C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4 (p+1)\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{-(p+1)}.
\end{align*}
\end{sat}
% \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa} &=
\Abs{\partial_\lambda^{\alpha}\kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4))}
&=\Abs{\partial_\lambda^{\alpha}\kappa(g_{jk}(\lambda))}\\
- &= \diam(T_j)_{\bs a}^{\alpha_1}\diam(T_j)_{\bs b}^{\alpha_2} \diam(T_k)_{\bs a}^{\alpha_3}\diam(T_k)_{\bs b}^{\alpha_4} \Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g_{jk}(\lambda))}\\
+ &= \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha_1}\diam_{\bs b}(T_j)^{\alpha_2} \diam_{\bs a}(T_k)^{\alpha_3}\diam_{\bs b}(T_k)^{\alpha_4} \Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g_{jk}(\lambda))}\\
&\leq\diam(T_j)^{\alpha_1 + \alpha_2}\diam(T_k)^{\alpha_3 + \alpha_4} \Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g_{jk}(\lambda))}\\
&\leq \max\{\diam(T_j),\diam(T_k)\}^{\abs{\alpha}} \Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g_{jk}(\lambda))},
\end{align*}
Durch ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung.
\end{beweis}
+
\noindent
\todo{
\begin{itemize}
\end{itemize}
}
+\subsection{Quadratur über eine Seite}
+\todo{$\bs a$ und die kleinste Seite der beiden Elemente, ist das Eindeutig?}
+
+\begin{defi} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ achsenorientierte Rechtecke mit $\diam_{\bs a}(T_i) \leq \diam_{\bs b}(T_i)$, wobei $i \in \{j,k\}$ und sei $\zeta_S > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_S$-zulässig, genau dann wenn
+ \begin{align}\label{math:sem:zetaS}
+ \dist_{\bs a} (T_j, T_k)&\geq \zeta_S \min\{ \diam_{\bs a}(T_j) , \diam_{\bs a}(T_k)\}.
+ \end{align}
+ Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_S$-unzulässig.
+\end{defi}
+
+
+\begin{sat} \label{thm:sem:pol:S} Seien $T_j,T_k \subseteq \R^3$ zwei $\zeta_S$-zulässige Rechtecke mit $\diam_{\bs a}(T_i) \leq \diam_{\bs b}(T_i)$, $i \in \{j,k\}$. Sei $\kappa(\cdot,\cdot)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
+ \begin{align*}
+ C_{\zeta_S,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist_{\bs a}(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{1}{c_2\zeta_S} \right)
+ \end{align*}
+die Abschätzung
+ \begin{align*}
+ \sup_{x_2 \in [0,1]\atop\bs y \in T_k}\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\bs y)&-\I_p\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\bs y)}_{\infty,[0,1]}
+ \leq C_{\zeta_S,j,k}\Lambda_p (p+1)\left(1+2 c_2\zeta_S\right)^{-(p+1)}.
+ \end{align*}
+\end{sat}
+
+
+\begin{beweis} Zunächst definieren wir die Konstanten
+\begin{align*}
+ C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist_{\bs a}(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{1}{c_2\zeta_S}
+\end{align*}
+und können dann die Konstante $C_{\zeta_S,j,k}$ kurz
+\begin{align*}
+ C_{\zeta_S,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\rho_{\kappa})
+\end{align*}
+schreiben.\\
+Sei $\bs y \in T_k$ und $x_2 \in [0,1]$ fest gewählt. Sei weiterhin $\gamma_j$ die Parametrisierung zu $T_j$ aus Definition \ref{math:def:T}. So gilt mithilfe von Lemma \ref{thm:sem:kett}
+\begin{align*}
+ \Abs{\partial_\lambda^{\alpha}\kappa(\gamma_j(\lambda,x_2),\bs y)}
+ &= \diam_{\bs a}(T_j)^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda,x_2),\bs y)},
+\end{align*}
+mit Multiindex $\alpha = (\alpha_1, 0, 0, 0)$, wobei $\alpha_1>0$ sei.
+Ferner gilt mit Definition \ref{thm:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
+\begin{align*}
+\diam_{\bs a}(T_j)^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda,x_2),\bs y)}
+ \leq& \diam_{\bs a}(T_j)^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(\lambda,x_2) - \bs y})^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
+ \leq & \diam_{\bs a}(T_j)^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \dist_{\bs a}(T_j,T_k))^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
+ = & \frac{c_1}{(c_2 \dist_{\bs a}(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\diam_{\bs a}(T_j)}{c_2 \dist_{\bs a}(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
+ \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
+\end{align*}
+wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ und $\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4) \in T_k$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt abschließend die Abschätzung
+\begin{align*}
+ \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\bs y)&-\I_p\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\bs y)}_{\infty,[0,1]}\\
+ &\leq C_{\kappa} 8e(1+\rho_{\kappa})\Lambda_p(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
+% &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_p^4p\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-p}\\
+ &= C_{\zeta_S,j,k}\Lambda_p(p+1)\left(1+2 c_2\zeta_S\right)^{-(p+1)}.
+\end{align*}
+\end{beweis}
+
+\subsection{Quadratur über ein Element}
+
+
+\begin{defi} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ achsenorientierte Rechtecke und sei $\zeta_E > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_E$-zulässig, genau dann wenn
+ \begin{align}\label{math:sem:zetaE}
+ \dist(T_j, T_k)&\geq \zeta_E \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}.
+ \end{align}
+ Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_E$-unzulässig.
+\end{defi}
+
+
+\begin{sat} \label{thm:sem:pol:E} Seien $T_j,T_k \subseteq \R^3$ zwei $\zeta_E$-zulässige Rechtecke mit $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$. Sei $\kappa(\cdot,\cdot)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
+ \begin{align*}
+ C_{\zeta_E,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\sqrt 2}{c_2\zeta_E} \right)
+ \end{align*}
+die Abschätzung
+ \begin{align*}
+ \sup_{\bs y \in T_k}\norm{\kappa(\cdot,\bs y)&-\I_p^2\kappa(\cdot,\bs y)}_{\infty,T_j}
+ \leq C_{\zeta_E,j,k}\Lambda_p^2 (p+1)\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-(p+1)}.
+ \end{align*}
+\end{sat}
+
+
+\begin{beweis} Zunächst definieren wir die Konstanten
+\begin{align*}
+ C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{1}{c_2\zeta_E}
+\end{align*}
+und können dann die Konstante $C_{\zeta_E,j,k}$ kurz
+\begin{align*}
+ C_{\zeta_E,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\sqrt 2\rho_{\kappa})
+\end{align*}
+schreiben.\\
+Sei $\bs y \in T_k$ fest gewählt. Sei weiterhin $\gamma_j$ die Parametrisierung zu $T_j$ aus Definition \ref{math:def:T}. So gilt mithilfe von Lemma \ref{thm:sem:kett}
+\begin{align*}
+ \Abs{\partial_\lambda^{\alpha}\kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\bs y)}
+ &= \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha_1}\diam_{\bs b}(T_j)^{\alpha_2}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\bs y)},\\
+% &\leq \diam(T_j)^{\alpha_1 + \alpha_2}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\bs y)},\\
+ &\leq \diam(T_j)^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\bs y)},
+\end{align*}
+mit Multiindex $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, 0, 0)$, wobei $\abs{\alpha}>0$ sei.
+Ferner gilt mit Definition \ref{thm:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
+\begin{align*}
+\diam(T_j)^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\bs y)}
+ \leq& \diam(T_j)^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) - \bs y})^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
+ \leq & \diam(T_j)^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \dist(T_j,T_k))^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
+ = & \frac{c_1}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\diam(T_j)}{c_2 \dist(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
+ \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
+\end{align*}
+wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt abschließend die Abschätzung
+\begin{align*}
+ \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\bs y)-\I_p^2\kappa(\gamma_j(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]^2}
+ &\leq C_{\kappa} 8e(1+\sqrt 2 \rho_{\kappa})\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\frac{\sqrt 2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
+ &= C_{\zeta_E,j,k}\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-(p+1)}.
+\end{align*}
+\end{beweis}
+
+
+\subsection{Quadratur über eine Achse}
+
+\todo{$\bs a$ von $T_j$ muss nicht gleich von $T_k$ sein, ändert aber nichts am Schätzer, oder ist das ausreichend Definiert. Sollte aber jeweils die kleinste Seite sein. Und interessanter weise brauch ich keine Aussage über parrallele oder orthogonale Lage.}
+
+\begin{defi} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ achsenorientierte Rechtecke mit $\diam_{\bs a}(T_i) \leq \diam_{\bs b}(T_i)$, $i \in \{j,k\}$ und sei $\zeta_A > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-zulässig, genau dann wenn
+ \begin{align}\label{math:sem:zetaA}
+ \dist(T_j, T_k)&\geq \zeta_A \max\{ \diam_{\bs a}(T_j) , \diam_{\bs a}(T_k)\}.
+ \end{align}
+ Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-unzulässig.
+\end{defi}
+
+
+\begin{sat} \label{thm:sem:pol:A} Seien $T_j,T_k \subseteq \R^3$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke mit $\diam_{\bs a}(T_i) \leq \diam_{\bs b}(T_i)$, wobei $i \in \{j,k\}$. Sei $\kappa(\cdot,\cdot)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
+ \begin{align*}
+ C_{\zeta_A,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\sqrt 2}{c_2\zeta_A} \right)
+ \end{align*}
+die Abschätzung
+ \begin{align*}
+ &\sup_{x_2,y_2 \in [0,1]}\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\gamma_k(\cdot,y_2))-\I_p^2\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\gamma_k(\cdot,y_2))}_{\infty,[0,1]^2}\\
+ &\leq C_{\zeta_A,j,k}\Lambda_p^2 (p+1)\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_A\right)^{-(p+1)}.
+ \end{align*}
+\end{sat}
+
+
+\begin{beweis} Zunächst definieren wir die Konstanten
+\begin{align*}
+ C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{1}{c_2\zeta_A}
+\end{align*}
+und können dann die Konstante $C_{\zeta_A,j,k}$ kurz
+\begin{align*}
+ C_{\zeta_A,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\sqrt 2\rho_{\kappa})
+\end{align*}
+schreiben.\\
+Sei $x_2,y_2 \in [0,1]$ fest gewählt. Seien weiterhin $\gamma_j,\gamma_k$ die Parametrisierungen zu $T_j$ und $T_k$ aus Definition \ref{math:def:T}. So gilt mithilfe von Lemma \ref{thm:sem:kett}
+\begin{align*}
+ |\partial_\lambda^{\alpha}\kappa(\gamma_j(\lambda_1,x_2),&\gamma_k(\lambda_3,y_2))|\\
+ &= \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha_1}\diam_{\bs a}(T_k)^{\alpha_3}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,x_2),\gamma_k(\lambda_3,y_2))},\\
+ &\leq \max\{\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,x_2),\gamma_k(\lambda_3,y_2))},
+\end{align*}
+mit Multiindex $\alpha = (\alpha_1, 0, \alpha_3, 0)$, wobei $\abs{\alpha}>0$ sei.
+Ferner gilt mit Definition \ref{thm:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
+\begin{align*}
+ \max\{\diam_{\bs a}(T_j),&\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,x_2),\gamma_k(\lambda_3,y_2))}\\
+ \leq& \max\{\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(\lambda_1,x_2) - \gamma_k(\lambda_3,y_2)})^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
+ \leq & \max\{\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \dist(T_j,T_k))^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
+ = & \frac{c_1}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\max\{\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}}{c_2 \dist(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
+ \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
+\end{align*}
+wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt abschließend die Abschätzung
+\begin{align*}
+ &\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\gamma_k(\cdot,y_2))-\I_p^2\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\gamma_k(\cdot,y_2))}_{\infty,[0,1]^2}\\
+ &\leq C_{\kappa} 8e(1+\sqrt 2 \rho_{\kappa})\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\frac{\sqrt 2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
+ &= C_{\zeta_A,j,k}\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_A\right)^{-(p+1)}.
+\end{align*}
+\end{beweis}
+
+
+\subsection{Quadratur über drei Seiten}
+
+\begin{defi} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ achsenorientierte Rechtecke mit $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ und $\diam_{\bs a}(T_k) \leq \diam_{\bs b}(T_k)$. Sei $\zeta_D > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_D$-zulässig, genau dann wenn
+ \begin{align}\label{math:sem:zetaA}
+ \dist(T_j, T_k)&\geq \zeta_D \max\{\diam(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}.
+ \end{align}
+ Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_D$-unzulässig.
+\end{defi}
+
+
+\begin{sat} \label{thm:sem:pol:A} Seien $T_j,T_k \subseteq \R^3$ zwei $\zeta_D$-zulässige Rechtecke mit $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ und $\diam_{\bs a}(T_k) \leq \diam_{\bs b}(T_k)$. Sei $\kappa(\cdot,\cdot)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
+ \begin{align*}
+ C_{\zeta_D,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\sqrt 3}{c_2\zeta_D} \right)
+ \end{align*}
+die Abschätzung
+ \begin{align*}
+ &\sup_{y_2 \in [0,1]}\norm{\kappa(\cdot,\gamma_k(\cdot,y_2))-\I_p^3\kappa(\cdot,\gamma_k(\cdot,y_2))}_{\infty,T_j\times[0,1]}\\
+ &\leq C_{\zeta_D,j,k}\Lambda_p^3(p+1)\left(1+\frac {2c_2\zeta_D} {\sqrt 3} \right)^{-(p+1)}.
+ \end{align*}
+\end{sat}
+
+
+\begin{beweis} Zunächst definieren wir die Konstanten
+\begin{align*}
+ C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{1}{c_2\zeta_D}
+\end{align*}
+und können dann die Konstante $C_{\zeta_D,j,k}$ kurz
+\begin{align*}
+ C_{\zeta_D,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\sqrt 3\rho_{\kappa})
+\end{align*}
+schreiben.\\
+Sei $y_2 \in [0,1]$ fest gewählt. Seien weiterhin $\gamma_j,\gamma_k$ die Parametrisierungen zu $T_j$ und $T_k$ aus Definition \ref{math:def:T}. So gilt mithilfe von Lemma \ref{thm:sem:kett}
+\begin{align*}
+ |\partial_\lambda^{\alpha}\kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),&\gamma_k(\lambda_3,y_2))|\\
+ &= \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha_1}\diam_{\bs b}(T_j)^{\alpha_2}\diam_{\bs a}(T_k)^{\alpha_3}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,y_2))},\\
+ &\leq \max\{\diam(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,y_2))},
+\end{align*}
+mit Multiindex $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, 0)$, wobei $\abs{\alpha}>0$ sei.
+Ferner gilt mit Definition \ref{thm:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
+\begin{align*}
+ \max\{\diam(T_j)&,\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,x_2),\gamma_k(\lambda_3,y_2))}\\
+ \leq& \max\{\diam(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(\lambda_1,x_2) - \gamma_k(\lambda_3,y_2)})^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
+ \leq & \max\{\diam(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \dist(T_j,T_k))^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
+ = & \frac{c_1}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\max\{\diam(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}}{c_2 \dist(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
+ \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
+\end{align*}
+wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt abschließend die Abschätzung
+\begin{align*}
+ &\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot,y_2))-\I_p^3\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot,y_2))}_{\infty,[0,1]^3}\\
+ &\leq C_{\kappa} 8e(1+\sqrt 3 \rho_{\kappa})\Lambda_p^3(p+1)\left(1+\frac{2}{\sqrt 3\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
+ &= C_{\zeta_D,j,k}\Lambda_p^3(p+1)\left(1+\frac {2c_2\zeta_D} {\sqrt 3} \right)^{-(p+1)}.
+\end{align*}
+\end{beweis}
+
% \subsection{Quadratur über eine Achse}
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