UE5 27+29+30 korrigiert

alternative zu 26 noch Falsch!

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@@ -11,7 +11,7 @@
 
 \aufgabe{25}
 {$p=2^{43112609}-1$ ist die zur Zeit größte bekannte Primzahl. Wie kann man ihre Stellenanzahl am einfachsten berechnen und was sind ihre $3$ Endziffern?}
-Die Anzahl der Stellen einer Zahl können mit $\log_{10}$ berechnet werden. Daher ist $\log_{10} 2^{43112609} = 43112609\cdot\log_{10} 2 \approx 12978188.5003$\\
+Die Anzahl der Stellen einer Zahl können mit $\log_{10}$ berechnet werden. Daher ist $\lfloor \log_{10} 2^{43112609} \rfloor +1 = \lfloor 43112609\cdot\log_{10} 2 \rfloor +1 = 12978189$\\
 Für die letzten 3 Stellen berechnet man nun:
 \begin{align}
  2^{43112609} \in (\Z_{1000}, * \mod 1000, 1) \text{, d.h. }x=2, k=43112609
@@ -96,11 +96,11 @@ $F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257$. Daher:
   3 \\
 \rightsquigarrow 9 \mod F_{3}\\
 \rightsquigarrow 81 \mod F_{3} \\
-\rightsquigarrow 81\cdot 81=25*257+161 \Rightarrow A=25, B=161 \rightsquigarrow B-A \equiv 161-25=136 \mod F_{3}\\
-\rightsquigarrow 136*136=72*257+64, A=72,B=64 \rightsquigarrow B-A \equiv 64-72 \equiv -8 \equiv 249 \mod F_{3}\\
-\rightsquigarrow 249*249=242*257+49, A=242, B=49 \rightsquigarrow B-A \equiv 49-242 \equiv -193 \equiv 64 \mod F_{3} \\
-\rightsquigarrow 64*64=16*257, A=16, B=0 \rightsquigarrow B-A \equiv -16 \equiv 241 \mod F_{3}\\
-\rightsquigarrow 241*241=226*257+225, A=226, B=225 \rightsquigarrow B-A \equiv 225-226 \equiv -1 \mod F_{3}
+\rightsquigarrow 81\cdot 81=25*256+161 \Rightarrow A=25, B=161 \rightsquigarrow B-A \equiv 161-25=136 \mod F_{3}\\
+\rightsquigarrow 136*136=72*256+64, A=72,B=64 \rightsquigarrow B-A \equiv 64-72 \equiv -8 \equiv 249 \mod F_{3}\\
+\rightsquigarrow 249*249=242*256+49, A=242, B=49 \rightsquigarrow B-A \equiv 49-242 \equiv -193 \equiv 64 \mod F_{3} \\
+\rightsquigarrow 64*64=16*256, A=16, B=0 \rightsquigarrow B-A \equiv -16 \equiv 241 \mod F_{3}\\
+\rightsquigarrow 241*241=226*256+225, A=226, B=225 \rightsquigarrow B-A \equiv 225-226 \equiv -1 \mod F_{3}
 \end{align}
 \end{subequations}
 
@@ -135,17 +135,24 @@ $Q=1$ zwingend aus Rekursionsformel aus der Theorie der Lucas-Folgen. P=4? Dann
 \begin{equation}
 D=P^{2}-4Q=4^{2}-4\cdot 1=16-4=12 \neq 0
 \end{equation}
-Die sich aus dem Lucas-Lehmer-Test ergebende Folge ist daher die Folge $V_{2j}, j \in \N^{*}$. 
+Wissen
+\begin{subequations}
+\begin{align}
+ V_{1}=s_{1} \\
+ k \in \N: k>1: s_{k}=V_{2k}
+\end{align}
+\end{subequations}
+
 \aufgabe{30}
 {Man wende den Lucas-Lehmer Test auf die Mersenn'sche Zahl $M_{7}=2^{7}-1=127$ an, wobei insbesondere die Reduktion $\mod M_{7}$ in der Weise durchzuführen sind, dass man die Quotienten und Reste bei der Division durch $2^{7}$ in geeigneter Weise verwendet.}
 $p=7$ ist eine ungerade Primzahl, daher ist der Lucas-Lehmer-Test anwendbar, setze $s_{1}:=4$. 
 \begin{subequations}
   \begin{align}
     s_{2}=16-2=14\\
-    s_{3}=14^{2}-2=194=1\cdot 127+66 , A=1, B=66 ,A+B=1+6=7 \equiv 67 \mod M_{7} \\
-    s_{4}=67^{2}-2=4487=35\cdot 127+7, A=35, B=7, A+B=35+7=42 \equiv 42 \mod M_{7} \\
-s_{5}=42^{2}-2=1762=13\cdot 127+98 , A=13, B=98 , A+B=13+98=111 \equiv 111 \mod M_{7} \\
-s_{6}=111^{2}-2=12319=96\cdot 127+31, A=96, B=31, A+B=96+31=127 \equiv 0 \mod M_{7}
+    s_{3}=14^{2}-2=194=1\cdot 128+66 , A=1, B=66 ,A+B=1+6=7 \equiv 67 \mod M_{7} \\
+    s_{4}=67^{2}-2=4487=35\cdot 128+7, A=35, B=7, A+B=35+7=42 \equiv 42 \mod M_{7} \\
+s_{5}=42^{2}-2=1762=13\cdot 128+98 , A=13, B=98 , A+B=13+98=111 \equiv 111 \mod M_{7} \\
+s_{6}=111^{2}-2=12319=96\cdot 128+31, A=96, B=31, A+B=96+31=127 \equiv 0 \mod M_{7}
   \end{align}
 \end{subequations}
 \end{document}
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