[doc] doppl Integral & co

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--- a/doc/doc.tex
+++ b/doc/doc.tex
@@ -26,6 +26,7 @@
 
 \let\mod\relax
 \DeclareMathOperator{\mod}{mod}
+\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
 
 \def\Ta{$T_a$}
 \def\Tb{$T_b$}
@@ -281,7 +282,6 @@ Dann gilt auf isotropen Netzen:
 
 
 \section{Analytische Berechnung der Integrale}
-\subsection{Problem}
 Es seien \Ta, \Tb ~$\subseteq$~ $\R^3$ zwei beschränkte, achsenorientierte rechteckige Seiten in $\R^3$.
 Berechnet werden soll:
 \begin{eqnarray*}
@@ -306,12 +306,24 @@ Für $p \in \{1/2 , 0 , -1/2 , -1, -3/2\}$ gilt explizit:
  g(-3/2;y;x;\lambda) &:=& \frac{y-x}{\lambda^2}\{(y-x)^2+\lambda^2\}^{-1/2}
 \end{eqnarray*}
 
-
 \subsection{doppel Integral}
-\begin{eqnarray*}
- G(p;y_1;y_2;x_1;x_2;\lambda) &:=& \int \int \{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \lambda^2\}^p dy_2 dy_1
-\end{eqnarray*}
+\begin{align*}
+ G(p;y_1;y_2;x_1;x_2;\lambda) &:= \int \int \{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \lambda^2\}^p dy_2 dy_1
+\end{align*}
 Im Zuge der Berechnungen werden auch hier nur die Funktionen für bestimmte Parameter benötigt, die Untersuchung der restlichen werden wir hier nicht durchführen.
+\\\noindent
+Betrachten wir zunächst den Fall $p = -3/2$ und unterscheiden wir auch zwischen $\lambda = 0 \wedge \lambda \neq 0$, denn alle weiteren für uns relevanten Fälle lassen sich auf diese Beiden zurück führen:
+\begin{align*}
+ G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,0)  =& - \frac{\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}}{(y_1-x_1)(y_2-x_2)}\\
+ G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda)  = &- \frac{\sgn\{(y_1-x_1)(y_2-x_2)\}}{2|\lambda|}\\
+ &\cdot \arccos\left( \frac{-2(y_1-x_1)^2(y_2-x_2)^2}{\{(y_1-x_1)^2+\lambda^2\}\{(y_2-x_2)^2+\lambda^2\}} +1 \right)
+\end{align*}
+Für alle weiteren relevante Fälle $p = -3/2 +k : k \in \N\backslash0$ lässt sich folgende Rekursionsformel aufstellen:
+\begin{align*}
+ (2p+2)G(p;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) =& 2p\lambda^2 G(p-1;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda)\\
+ &+ (y_1-x_1)g(p;y_2;x_2;\sqrt{(y_1-x_1)^2+\lambda^2})\\
+ &+ (y_2-x_2)g(p;y_1;x_1;\sqrt{(y_2-x_2)^2+\lambda^2})
+\end{align*}
 
 \subsection{Integral über zwei Elemente}
 Bei der Integration über zwei Seitenelemente \Ta, \Tb $\in \T_{\ell}$ haben wir geometrisch zischen zwei Fällen unterschieden. Entweder die beiden Elemente liegen in parallelen Ebenen oder in orthogonalen Ebenen.
@@ -319,7 +331,7 @@ Bei der Integration über zwei Seitenelemente \Ta, \Tb $\in \T_{\ell}$ haben wir
 \subsubsection{Parallele Elemente}
 Liegen die beiden Elemente parallel zueinander lassen sie sich Folgendermaßen darstellen:
 Sei: \Ta = $ \v + [(0,l_1) \times (0,l_2) \times \{0\}]$ und \Tb = $ \tilde \v + [(0,\tilde l_1) \times (0,\tilde l_2) \times \{0\}]$, wobei $\v,\tilde \v \in \R^3$ ist. Weiterhin sei $\boldsymbol{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$ definiert.\\
-Damit lässt sich zeigen:
+Damit können wir zeigen, dass
 \begin{eqnarray*}
 &&-\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\
 &=&-\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T}
@@ -331,7 +343,7 @@ Damit lässt sich zeigen:
   \left ( (x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2 \right)^{-1/2}
   dy_2 dy_1 dx_2 dx_1
 \end{eqnarray*}
-Entscheidend ist also die Stammfunktion $F_{par}$
+die Stammfunktion $F_{par}$ das Integral über zwei parallele Elemente löst.
 \begin{eqnarray*}
 F_{par}(x_1,x_2,y_1,y_2,\delta_1,\delta_2,\delta_3) &:=& \int \int \int \int \left\{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\right\}^{-1/2}dy_2 dy_1 dx_2 dx_1
 \end{eqnarray*}
@@ -585,8 +597,6 @@ $[COO_{fine}, ELE_{fine}, NEI_{fine}, F2S ] = refineQuad(COO, ELE, NEI, marked);
 \mu_{\ell}(T_j)^2 & = & \frac{ h_{min}(T_j) \abs{T_j}}{4} \sum_{k=1}^4{(x_j^{(k)}-m_j)^2}
 \end{eqnarray*}
 
-$mu = computeTstSlpMuTilde(x_{fine}, \T, F2S);$\\
-$mu = computeTstSlpMuTilde(x_{fine}, COO, ELE, F2S);$
 
 
 
@@ -650,7 +660,7 @@ $\theta \in (0,1),i =0$
  \item $i \mapsto i+1$, gehe zu $(i)$
 \end{enumerate}
 
-Zum Plotten (\ref{exmplAA_2DQuad})werden noch folgende Schritte ausgeführt
+Zum Plotten (Abb.\ref{exmplAA_2DQuad})werden noch folgende Schritte ausgeführt
 \begin{itemize}
  \item Berechne Galerkinlösung $\phi_{l} \in P^0(\T_{\ell}^{(i)})$
 %  \item $\enorm{\phi_{\ell/2}}$
@@ -663,6 +673,43 @@ Zum Plotten (\ref{exmplAA_2DQuad})werden noch folgende Schritte ausgeführt
  \item $\kappa3_{i} = \enorm{\phi_{\ell/2}^{(i)}-\phi_{\ell/2}^{(i-1)}}$
 \end{itemize} 
 
+
+\section{Auswertung}
+\todo{Viele Bunte Bilder und Testergebnisse}
+\begin{itemize}
+ \item gerechnet wurde $V\phi = 1$
+ \item Beispiele für verschiedene Figuren
+ \begin{itemize}
+  \item 2D LShape
+  \item 2D Rechteck
+  \item 3D Würfel
+  \item Fischer Würfel
+  \item L Figur
+ \end{itemize}
+ \item Beispiele für verschiedene Berechnungsarten
+ \begin{itemize}
+  \item VollAnalytisch
+  \item SemiAnalytisch über Element
+  \item SemiAnalytisch über Achse
+  \item SemiAnalytisch über Seite
+ \end{itemize}
+ \item Fehlerschätzer untersuchen und prüfen ob sie sich wie erwartet Verhalten
+
+\end{itemize}
+
+
+\section{Anhang Code}
+\todo{
+Die wichtigsten Funktionen
+\begin{enumerate}
+ \item compute
+ \item refine
+ \item mark
+ \item build\_V
+ \item plot
+\end{enumerate}
+}
+
 \begin{figure}[ht]
 \caption{2D Quad adaptiv anisotrop vollanalytisch $V\phi = 1$}
 \centering

diff --git a/src/A_plots.m b/src/A_plots.m
index aa7e0d7fee3b854bacbdd9808798efaa8a4b54a1..36a926505d9a2b9dadb0917d60c876be9cbdb7f3 100644 (file)
--- a/src/A_plots.m
+++ b/src/A_plots.m
@@ -81,8 +81,8 @@ else
 %     data((end-8):end,[1 [3 4 5]])
     
 %     sol = interp1(1./X((round(1)):(end),4)',G_D((round(1)):(end),4)',0,'spline')
-    sol = 8.28466; % LShape
-%     sol = 4.609193; % Quad
+%    sol = 8.28466; % LShape
+     sol = 4.609193; % Quad
 
 % G_D