UE4 Aufgabenstellungen

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 % \thispagestyle{plain}
 % \tableofcontents
 
-\uebung{4}{23. Mai 2012}
+\uebung{4}{30. Mai 2012}
 
 \aufgabe{19}
-{Man zeige, dass sich jede positive ganze $n$ auf {\bf genau eine} Weise als Summe
+{Man zeige, dass für ein beliebiges $a \in Z$ und eine beliebiges $n \in N^*$ gilt $n | \varphi(a n − 1)$ .
+}
+
+\aufgabe{20}
+{Welche Form haben die Bedingungen 1.-5. aus I, 4.7 für eine ungerade Primzahl $r$ für
+die Lucasfolgen $U_n$ bzw. $V_n$ speziell mit $P = 1$ und $Q = -1$? Man überprüfe ferner ihre
+Gültigkeit für $r = 41$.
+}
+
+\aufgabe{21}
+{Man überprüfe jeweils für die Basis $a=2$, ob $n=341$ den Fermattest, den Solovay-
+Strassen-Test oder Miller-Rabin-Test besteht. Was wären ferner die Parameter $P$ und $Q$ in
+Hinblick auf den Baillie-Wagstaff-Test?
+}
+
+\aufgabe{22}
+{Ist n das Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen $p$ und $q$, so hat für jedes u die
+Kongruenz $x^2 \equiv u^2 \mod n$ außer $\pm u \mod n$ in der Regel noch ein weiteres Wurzelpaar
+$\pm v mod n$ als Lösung. Wie erhält man dieses speziell für $n= 437$ und $u=7$ ? (Hinweis:
+Löse obige Kongruenz zunächst mod p bzw. q und „kombiniere“ dann diese Lösungen
+mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes zu Lösungen $\mod n$.)
+}
+
+\aufgabe{23}
+{Man zeige, dass eine Zahl $n$ der Form $n = pqr$, wobei $p,q,r$ Primzahlen der Form
 \begin{align}
- n = \sum_{k=0}^m n_k 2^k \text{ mit } n_k \in \{-1,0,1\}
+ p = 6m + 1, q = 12m + 1, r = 18m +1 \text{ für ein } m \in N^*
 \end{align}
-schreiben läßt, sodass gilt $n_m = 1$ und $n_{k −1} n_k = 0$ für $k=1,2,..,m$ (genannt die NAF- Dar-
-stellung von n, von engl. nonadjacent form).
+sind, stets eine Carmichaelzahl ist, d.h. die Bedingung $a^{n −1} \equiv 1 \mod n$ für alle zu $n$
+teilerfremden Basen $a \in Z$ erfüllt, obwohl sie zusammengesetzt ist.
 }
 
-\aufgabe{20}
-{}
+\aufgabe{24}
+{Man zeige: Besteht eine ungerade natürliche Zahl $n>1$ den Fermattest für die Basis $2$,
+so besteht dann $2^n − 1$ sogar den Miller-Rabin Test für die Basis $2$.
+}
 
 \end{document}