\begin{align}\label{math:analy:int}
\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x} \in \R^3.
\end{align}
-mit zwei beschränkte, achsenorientierte Rechtecke $T_j,T_k \subseteq\R^3$ beschäftigen.
-Dazu wollen wir angelehnt an \cite{mai:3dbem} zwei Integrale anschauen, welche durch das Aufspalten des Integrals \eqref{math:analy:int} auftreten.
+mit zwei beschränkten, achsenorientierten Rechtecken $T_j,T_k \subseteq\R^3$ beschäftigen. Die im Folgenden auftretenden Stammfunktionen $\int f(x) dx$ werden wir der Einfachheit halber jeweils mit additiver Verschiebung $0$ schreiben.
+Dazu wollen wir \cite{mai:3dbem} folgend, zwei Stammfunktionen zitieren, welche durch das Aufspalten des Integrals \eqref{math:analy:int} auftreten werden.
\\\noindent
\begin{lem}
-Für das Integral
+Für Die Stammfunktion
\begin{align*}
g(p;y;x;\lambda) &:= \int \{(x-y)^2 + \lambda^2 \}^p dy
\end{align*}
\begin{align*}
(2p+1)g(p;y;x;0) = \begin{cases} \sgn(y-x) \log \abs{y-x}^{2p} & p=-1/2 \\(y-x) \abs{y-x}^{2p} & sonst \end{cases}
\end{align*}
-falls für $p\leq-/2$ $x$ außerhalb des betrachteten Integrationsbereichs liegt.
-Für beliebige $x,p,y, \lambda \in \R$ mit $\lambda \neq 0$ gilt die Rekursionsformel:
+falls $x$ für $p\leq-1/2$ außerhalb des betrachteten Integrationsbereichs liegt.
+Für beliebige $x,p,y, \lambda \in \R$ mit $\lambda \neq 0$ gilt die Rekursionsformel
\begin{align*}
-(2p+1)g(p;y;x;\lambda) &= (y-x) \{(y-x)^2+\lambda^2\}^p + 2p\lambda g(p-1;y;x;\lambda)
+(2p+1)g(p;y;x;\lambda) &= (y-x) \{(y-x)^2+\lambda^2\}^p + 2p\lambda g(p-1;y;x;\lambda).
\end{align*}
Im weiteren werden wir noch die Formeln für $p \in \{1/2 , 0 , -1/2 , -1, -3/2\}$
\begin{align*}
-g(1/2;y;x;\lambda) &= \frac{y-x}{2}\{(y-x)^2+\lambda^2\}^{1/2} + \frac{\lambda^2}{2} \arsinh \frac{y-x}{|\lambda|}\\
-g(0;y;x;\lambda) &= y-x\\
-g(-1/2;y;x;\lambda) &= \arsinh \frac{y-x}{|\lambda|}\\
-g(-1;y;x;\lambda) &= \frac 1 {\abs{\lambda}} \arctan \frac{y-x}{|\lambda|}\\
+g(1/2;y;x;\lambda) &= \frac{y-x}{2}\{(y-x)^2+\lambda^2\}^{1/2} + \frac{\lambda^2}{2} \arsinh \frac{y-x}{|\lambda|},\\
+g(0;y;x;\lambda) &= y-x,\\
+g(-1/2;y;x;\lambda) &= \arsinh \frac{y-x}{|\lambda|},\\
+g(-1;y;x;\lambda) &= \frac 1 {\abs{\lambda}} \arctan \frac{y-x}{|\lambda|},\\
g(-3/2;y;x;\lambda) &= \frac{y-x}{\lambda^2}\{(y-x)^2+\lambda^2\}^{-1/2}
\end{align*}
benötigen, welche alle in \cite[Seite 2-3]{mai:3dbem} bewiesen wurden.
\end{lem}
-Hierbei wollen wir darauf hinweisen, dass wir für $p=-1$ nicht die in \cite[Seite 3]{mai:3dbem} vorgeschlagene Formel verwenden, sondern die selbst hergeleitete:
+Hierbei wollen wir darauf hinweisen, dass wir für $p=-1$ nicht die in \cite[Seite 3]{mai:3dbem} vorgeschlagene Formel verwenden, sondern die mit Hilfe von Substitution durch $z = \frac{y-x}{\abs{\lambda}}$, beziehungsweise $dz = \frac 1 {\abs{\lambda}} dy$ selbst hergeleitete
\begin{align*}
\int \frac 1 {(x-y)^2 +\lambda^2} dy &= \int \frac 1 {\lambda^2((\frac{y-x}{\abs{\lambda}})^2 +1)} dy
-= \left|
-\begin{array}{c}
-z = \frac{y-x}{\abs{\lambda}}\\
-dz = \frac 1 {\abs{\lambda}} dy
-\end{array}
-\right|
= \frac 1 {\abs{\lambda}} \int \frac 1 {z^2+1} dz\\
-&= \frac 1 {\abs{\lambda}} \arctan (z) +c = \frac 1 {\abs{\lambda}} \arctan (\frac{y-x}{\abs{\lambda}}) +c
+&= \frac 1 {\abs{\lambda}} \arctan (z) = \frac 1 {\abs{\lambda}} \arctan (\frac{y-x}{\abs{\lambda}}).
\end{align*}
\begin{lem}
-Des Weiteren werden wir das Integral
+Des Weiteren werden wir die Stammfunktion
\begin{align*}
-G(p;y_1;y_2;x_1;x_2;\lambda) &:= \int \int \{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \lambda^2\}^p dy_2 dy_1
+ G(p;y_1;y_2;x_1;x_2;\lambda) &:= \int \int \{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \lambda^2\}^p dy_2 dy_1
\end{align*}
-benötigen, welches sich für den den Fall $p = -3/2$ und $\lambda = 0 \wedge \lambda \neq 0$ schreiben lässt als:
+benötigen, welches sich für den den Fall $p = -3/2$ lässt als
\begin{align*}
-G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,0) &= - \frac{\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}}{(y_1-x_1)(y_2-x_2)}\\
-G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) &=- \frac{\sgn\{(y_1-x_1)(y_2-x_2)\}}{2|\lambda|}\\
-&\cdot \arccos\left( \frac{-2(y_1-x_1)^2(y_2-x_2)^2}{\{(y_1-x_1)^2+\lambda^2\}\{(y_2-x_2)^2+\lambda^2\}} +1 \right).
+ G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,0) &= - \frac{\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}}{(y_1-x_1)(y_2-x_2)} \quad \text{ für } \lambda = 0,\\
+ G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) &=- \frac{\sgn\{(y_1-x_1)(y_2-x_2)\}}{2|\lambda|} \quad \text{ für } \lambda \neq 0\\
+ &\cdot \arccos\left( \frac{-2(y_1-x_1)^2(y_2-x_2)^2}{\{(y_1-x_1)^2+\lambda^2\}\{(y_2-x_2)^2+\lambda^2\}} +1 \right).
\end{align*}
-Für alle weiteren relevante Fälle $p = -3/2 +k : k \in \N\backslash0$ können wir folgende Rekursionsformel aufstellen:
+Für alle weiteren relevanten Fälle $p = -3/2 +k mit k \in \N$ können wir folgende Rekursionsformel aufstellen
\begin{align*}
-(2p+2)G(p;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) &= 2p\lambda^2 G(p-1;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda)\\
-&+ (y_1-x_1)g(p;y_2;x_2;\sqrt{(y_1-x_1)^2+\lambda^2})\\
-&+ (y_2-x_2)g(p;y_1;x_1;\sqrt{(y_2-x_2)^2+\lambda^2}),
+ (2p+2)G(p;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) &= 2p\lambda^2 G(p-1;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda)\\
+ &+ (y_1-x_1)g(p;y_2;x_2;\sqrt{(y_1-x_1)^2+\lambda^2})\\
+ &+ (y_2-x_2)g(p;y_1;x_1;\sqrt{(y_2-x_2)^2+\lambda^2}),
\end{align*} welche ebenfalls in \cite[Seite 5-7]{mai:3dbem} bewiesen wurden.
\end{lem}
\subsection{Integral über zwei Elemente}
-Bei der Berechnung von \eqref{math:analy:int} werden wir geometrisch zwischen zwei Fällen zu unterscheiden. Entweder die beiden Elemente liegen in parallelen Ebenen oder in orthogonalen Ebenen.
+Bei der Berechnung von \eqref{math:analy:int} werden wir Aufgrund der speziellen Form des Kerns geometrisch zwischen zwei Fällen zu unterscheiden. Entweder die beiden Elemente liegen geometrisch in parallelen Ebenen oder in orthogonalen Ebenen.
-
-\subsubsection{Parallele Elemente}
-Liegen die beiden Elemente parallel zueinander, können wir sie wie in \cite[Seite 13]{mai:3dbem} gezeigt, darstellen als:
-\begin{align*}
-T_j &= \v + [(0,s_1) \times (0,s_2) \times \{0\}]\\
-T_k &= \tilde \v + [(0,\tilde s_1) \times (0,\tilde s_2) \times \{0\}], \text{ mit } \v,\tilde \v \in \R^3.
-\end{align*}
-Wir setzen $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$, dann können wir das gesuchte Integral
-\begin{align*}
-\int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}
-\end{align*}
-umformen zu:
+% \subsubsection{Parallele Elemente}
+\noindent
+Das heißt für parallele Elemente $T_j,T_k$ können wir o.B.d.A annehmen, dass mit Definition \ref{math:def:T}
\begin{align*}
-&= \int_{T_j} \int_{T_k}
- \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
-&= \int_{T_j} \int_{T_k}
- \left ( ((x_1 + v_1)-(y_1 +\tilde v_1))^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- \tilde v_3)^2 \right)^{-1/2}
- ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
-&= \int_0^{s_1}\int_0^{s_2}\int_0^{\tilde s_1}\int_0^{\tilde s_2}
- \left ( (x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2 \right)^{-1/2}
- dy_2 dy_1 dx_2 dx_1.
+ T_j &= \{\bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b} ~|~ \lambda_1,\lambda_2 \in[0,1]\}\\
+ T_k &= \{\tilde {\bs v} + \tilde \lambda_1 \tilde a \tilde {\bs a} + \tilde \lambda_2 \tilde b \tilde {\bs b} ~|~ \tilde \lambda_1,\tilde \lambda_2 \in[0,1]\}
\end{align*}
-Dies können wir als Stammfunktion
+${\bs a} = \tilde {\bs a}$ und ${\bs b} = \tilde{\bs b}$ gilt. Wir setzen $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$. Dann gilt für das gesuchte Integral \cite[Seite 13]{mai:3dbem} folgend
\begin{align*}
-F_{par}&(x_1,x_2,y_1,y_2,\bs \delta) :=\\ &\int \int \int \int \left\{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\right\}^{-1/2}dy_2dy_1 dx_2 dx_1
+ &\int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+ &= \int_{T_j} \int_{T_k}
+ \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+ &= \int_{T_j} \int_{T_k}
+ \left ( ((x_1 + v_1)-(y_1 +\tilde v_1))^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- \tilde v_3)^2 \right)^{-1/2}
+ ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+ &= \int_0^{a}\int_0^{b}\int_0^{\tilde a}\int_0^{\tilde b}
+ \left ( (x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2 \right)^{-1/2}
+ dy_2 dy_1 dx_2 dx_1.
\end{align*}
-schreiben, welche das Integral über zwei parallele Elemente löst:
-\begin{align}
-F_{par}(x_1&,x_2,y_1,y_2,\bs \delta)\\
-=& (x_1-y_1-\delta_1)(x_2-y_2-\delta_2)G(-1/2;x_1,x_2;y_1+\delta_1,y_2+\delta_2,\delta_3)\\
-&-(x_1-y_1-\delta_1) g(1/2;x_1;y_1+\delta_1;\{(x_2-y_2-\delta_2)^2 + \delta_3^2\}^{1/2})\\
-&-(x_2-y_2-\delta_2) g(1/2;x_2;y_2+\delta_2;\{(x_1-y_1-\delta_1)^2 + \delta_3^2\}^{1/2})\\
-&+\frac 1 3 \{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\}^{3/2}
-\end{align}
-
+\begin{lem}
+ Für die Stammfunktion auf parallelen Elementen
+ \begin{align*}
+ F_{p}&(x1,x_2,y_1,y_2,\bs \delta) :=\\ &\int \int \int \int \left\{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\right\}^{-1/2}dy_2dy_1 dx_2 dx_1
+ \end{align*}
+ gilt nach \cite[Seite 13]{mai:3dbem}
+ \begin{align}
+ \begin{split}
+ F_{p}(x_1&,x_2,y_1,y_2,\bs \delta)\\
+ =& (x_1-y_1-\delta_1)(x_2-y_2-\delta_2)G(-1/2;x_1,x_2;y_1+\delta_1,y_2+\delta_2,\delta_3)\\
+ &-(x_1-y_1-\delta_1) g(1/2;x_1;y_1+\delta_1;\{(x_2-y_2-\delta_2)^2 + \delta_3^2\}^{1/2})\\
+ &-(x_2-y_2-\delta_2) g(1/2;x_2;y_2+\delta_2;\{(x_1-y_1-\delta_1)^2 + \delta_3^2\}^{1/2})\\
+ &+\frac 1 3 \{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\}^{3/2}.
+ \end{split}
+ \end{align}
+\end{lem}
-\subsubsection{Orthogonale Elemente}
-Analog können wir orthogonal liegende Elemente wie in \cite[Seite 14]{mai:3dbem} gezeigt, schreiben als:
-\begin{align*}
-T_j &= \v + [(0,s_1) \times (0,s_2) \times \{0\}]\\
-T_k &= \tilde \v + [ \{0\} \times (0,\tilde s_2) \times (0,\tilde s_3)], \text{ mit } \v,\tilde \v \in \R^3
-\end{align*} und setzen wir $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$.
-Dann können wir
-\begin{align*}
-\int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}
-\end{align*}
-umformen zu:
-\begin{align*}
-&= \int_{T_j} \int_{T_k}
- \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
-&= \int_{T_j} \int_{T_k}
- \left ( ((x_1 + v_1)-\tilde v_1)^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- (y_3 +\tilde v_3))^2 \right)^{-1/2}
- ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
-&= \int_0^{s_1}\int_0^{s_2}\int_0^{\tilde s_2}\int_0^{\tilde s_3}
- \left ( (x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(y_3-\delta_3)^2 \right)^{-1/2}
- dy_3 dy_2 dx_2 dx_1
-\end{align*}
-Dies können wir ebenfalls als Stammfunktion
+% \subsubsection{Orthogonale Elemente}
+\noindent
+Analog können wir orthogonal liegende Elemente mit Definition \ref{math:def:T} schreiben als
\begin{align*}
-F_{ort}&(x_1,x_2,y_2,y_3,\bs \delta) :=\\ &\int \int \int \int \left\{(x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(-y_3-\delta_3)^2\right\}^{-1/2}
-dy_3 dy_2 dx_2 dx_1
-\end{align*}
-für orthogonal liegende Elemente schreiben:
+ T_j &= \{\bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b} ~|~ \lambda_1,\lambda_2 \in[0,1]\}\\
+ T_k &= \{\tilde {\bs v} + \tilde \lambda_2 \tilde b \tilde {\bs b} + \tilde \lambda_1 \tilde a \tilde {\bs a} ~|~ \tilde \lambda_1,\tilde \lambda_2 \in[0,1]\}
+\end{align*} wobei wir hier ${\bs b} = \tilde {\bs a}$ und ${\bs b} \neq \tilde{\bs a}$ annehmen. Wir setzen $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$.
+Dann gilt nach \cite{mai:3dbem}
\begin{align*}
-2F_{ort}(x_1&,x_2,y_2,y_3,\bs \delta)\\
-=&-G(1/2;y_3,x_1;-\delta_3,\delta_1,x_2-y_2-\delta_2)\\
-&-(x_1-\delta_1)(x_2-y_2-\delta_2)G(-1/2;x_2,y_3;y_2+\delta_2,-\delta_3,x_1-\delta_1)\\
-&+(x_1-\delta_1)g(1/2);y_3;-\delta_3,\{(x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2\}^{1/2})\\
-&-(x_3-\delta_3)(x_2-y_2-\delta_2)G(-1/2;x_1,x_2;\delta_1,y_2+\delta_2,-y_3-\delta_3)\\
-&+(x_3-\delta_3)g(1/2);x_1;\delta_1,\{(x_2-y_2-\delta_2)^2+(y_3+\delta_3)^2\}^{1/2})
+ &\int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+ &= \int_{T_j} \int_{T_k}
+ \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+ &= \int_{T_j} \int_{T_k}
+ \left ( ((x_1 + v_1)-\tilde v_1)^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- (y_3 +\tilde v_3))^2 \right)^{-1/2}
+ ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+ &= \int_0^{s_1}\int_0^{s_2}\int_0^{\tilde s_2}\int_0^{\tilde s_3}
+ \left ( (x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(y_3-\delta_3)^2 \right)^{-1/2}
+ dy_3 dy_2 dx_2 dx_1
\end{align*}
+\begin{lem}
+ Für die Stammfunktion auf orthogonalen Elementen
+ \begin{align*}
+ F_{o}&(x_1,x_2,y_2,y_3,\bs \delta) :=\\ &\int \int \int \int \left\{(x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(-y_3-\delta_3)^2\right\}^{-1/2}
+ dy_3 dy_2 dx_2 dx_1
+ \end{align*}
+ gilt nach \cite{mai:3dbem}
+ \begin{align}
+ \begin{split}
+ 2F_{o}(x_1&,x_2,y_2,y_3,\bs \delta)\\
+ =&-G(1/2;y_3,x_1;-\delta_3,\delta_1,x_2-y_2-\delta_2)\\
+ &-(x_1-\delta_1)(x_2-y_2-\delta_2)G(-1/2;x_2,y_3;y_2+\delta_2,-\delta_3,x_1-\delta_1)\\
+ &+(x_1-\delta_1)g(1/2);y_3;-\delta_3,\{(x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2\}^{1/2})\\
+ &-(x_3-\delta_3)(x_2-y_2-\delta_2)G(-1/2;x_1,x_2;\delta_1,y_2+\delta_2,-y_3-\delta_3)\\
+ &+(x_3-\delta_3)g(1/2);x_1;\delta_1,\{(x_2-y_2-\delta_2)^2+(y_3+\delta_3)^2\}^{1/2}).
+ \end{split}
+ \end{align}
+\end{lem}
-
+\todo{
\subsection{Bestimmtes Integral}
-% \begin{align*}
-% &\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\
-% &\approx \frac{1}{4\pi} \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1}\int_0^{\tilde k_2}
-% \dif{}{y_2} \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,x_2,y_1,y_2)
-% dy_2 dy_1 dx_2 dx_1\\
-% %
-% &= \frac{1}{4\pi}\big( \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1}
-% \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,x_2,y_1,\tilde k_2)
-% -
-% \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,x_2,y_1,0) \big)
-% dy_1 dx_2 dx_1\\
-% %
-% &= \frac{1}{4\pi}\big( \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}
-% \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,x_2,\tilde k_1,\tilde k_2)
-% -
-% \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,x_2,\tilde k_1,0) \\
-% &-
-% \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,x_2,0,\tilde k_2)
-% +
-% \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,x_2,0,0)\big)
-% dx_2 dx_1\\
-% %
-% &= \frac{1}{4\pi}\big( \int_0^{k_1}
-% \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2)
-% -
-% \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,k_2,\tilde k_1,0) \\
-% &-
-% \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,k_2,0,\tilde k_2)
-% +
-% \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,k_2,0,0)\\
-% &- %%
-% \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,0,\tilde k_1,\tilde k_2)
-% +
-% \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,0,\tilde k_1,0) \\
-% &+
-% \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,0,0,\tilde k_2)
-% -
-% \dif{}{x_1}
-% F_{par/ort}(x_1,0,0,0)\big)
-% dx_1\\
-% %
-% &= \frac{1}{4\pi}\big(
-% F_{par/ort}(k_1,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2)
-% -
-% F_{par/ort}(k_1,k_2,\tilde k_1,0)
-% -
-% F_{par/ort}(k_1,k_2,0,\tilde k_2)
-% +
-% F_{par/ort}(k_1,k_2,0,0)\\
-% &-
-% F_{par/ort}(k_1,0,\tilde k_1,\tilde k_2)
-% +
-% F_{par/ort}(k_1,0,\tilde k_1,0)
-% +
-% F_{par/ort}(k_1,0,0,\tilde k_2)
-% -
-% F_{par/ort}(k_1,0,0,0)\\
-% &- %%
-% F_{par/ort}(0,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2)
-% -
-% F_{par/ort}(0,k_2,\tilde k_1,0)
-% -
-% F_{par/ort}(0,k_2,0,\tilde k_2)
-% +
-% F_{par/ort}(0,k_2,0,0)\\
-% &-
-% F_{par/ort}(0,0,\tilde k_1,\tilde k_2)
-% +
-% F_{par/ort}(0,0,\tilde k_1,0)
-% +
-% F_{par/ort}(0,0,0,\tilde k_2)
-% -
-% F_{par/ort}(0,0,0,0)\big)
-% \end{align*}
-
+\begin{align*}
+& \int_T \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\
+&\approx \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1}\int_0^{\tilde k_2}
+ \dif{}{y_2} \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,y_2)
+dy_2 dy_1 dx_2 dx_1\\
+%
+&= \big( \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1}
+\dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,\tilde k_2)
+-
+\dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,0) \big)
+ dy_1 dx_2 dx_1\\
+%
+&= \big( \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}
+ \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,x_2,\tilde k_1,\tilde k_2)
+-
+ \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,x_2,\tilde k_1,0) \\
+&-
+\dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,x_2,0,\tilde k_2)
++
+ \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,x_2,0,0)\big)
+ dx_2 dx_1\\
+%
+&= \big( \int_0^{k_1}
+\dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2)
+-
+\dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,k_2,\tilde k_1,0) \\
+&-
+\dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,k_2,0,\tilde k_2)
++
+\dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,k_2,0,0)\\
+&- %%
+\dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,0,\tilde k_1,\tilde k_2)
++
+\dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,0,\tilde k_1,0) \\
+&+
+\dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,0,0,\tilde k_2)
+-
+\dif{}{x_1}
+ F_{p/o}(x_1,0,0,0)\big)
+ dx_1\\
+%
+&= \big(
+ F_{p/o}(k_1,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2)
+-
+ F_{p/o}(k_1,k_2,\tilde k_1,0)
+-
+ F_{p/o}(k_1,k_2,0,\tilde k_2)
++
+ F_{p/o}(k_1,k_2,0,0)\\
+&-
+ F_{p/o}(k_1,0,\tilde k_1,\tilde k_2)
++
+ F_{p/o}(k_1,0,\tilde k_1,0)
++
+ F_{p/o}(k_1,0,0,\tilde k_2)
+-
+ F_{p/o}(k_1,0,0,0)\\
+&- %%
+ F_{p/o}(0,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2)
+-
+ F_{p/o}(0,k_2,\tilde k_1,0)
+-
+ F_{p/o}(0,k_2,0,\tilde k_2)
++
+ F_{p/o}(0,k_2,0,0)\\
+&-
+ F_{p/o}(0,0,\tilde k_1,\tilde k_2)
++
+ F_{p/o}(0,0,\tilde k_1,0)
++
+ F_{p/o}(0,0,0,\tilde k_2)
+-
+ F_{p/o}(0,0,0,0)\big)
+\end{align*}
+}
\clearpage
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