\documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{article}
-
\usepackage{template}
+\usepackage{boxedminipage}
\begin{document}
\aufgabe{19}
{Man zeige, dass für ein beliebiges $a \in Z$ und eine beliebiges $n \in N^*$ gilt $n | \varphi(a n − 1)$ .
}
+Es gilt
+\begin{subequations}\label{eq:0}
+\begin{align}
+ \gcd(a,a^{n}-1)=1 \Rightarrow \gcd(a^{n},a^{n}-1)=1 \\
+ \Rightarrow a \in \Z_{(a^{n}-1)}^{*} \Rightarrow a^{\varphi(a^{n}-1)} \equiv 1 \mod (a^{n}-1) \\
+ \Rightarrow ord(a)_{\Z_{(a^{n}-1)}} \mid \varphi(a^{n}-1)
+\end{align}
+\end{subequations}
+Sei $a \neq 0 \land a \neq 1$, dann gilt, dass die Funktion $a \mapsto a^{\alpha}, \alpha \in \N$, streng monoton wachsend ist. Daraus erhält man das Folgende:
+\begin{equation}
+ \label{eq:1}
+ a < a^{2} < a^{3} < \cdots < a^{n-1} \stackrel{*}\leq a^{n}-1 < a^{n}
+\end{equation}
+Die Behauptung ist nun, dass in \eqref{eq:1} in $*$ ein $<$ gilt, angenommen nicht:
+\begin{equation}
+ \label{eq:2}
+ a^{n-1}=a^{n}-1 \Rightarrow 1=a^{n}(a-1),
+\end{equation}
+was in $\Z$ nicht möglich ist, da nur die Elemente $\pm 1$ invertierbar sind. Daraus folgt nun unmittelbar, dass $ord(a)_{\Z_{a^{n}-1}}=n$ gilt. Aus I, \S $2$, Satz $2.16$, $(2)$ folgt nun
+\begin{equation}
+ \label{eq:3}
+ n \mid \varphi(a^{n}-1)
+\end{equation}
+
\aufgabe{20}
{Welche Form haben die Bedingungen 1.-5. aus I, 4.7 für eine ungerade Primzahl $r$ für
die Lucasfolgen $U_n$ bzw. $V_n$ speziell mit $P = 1$ und $Q = -1$? Man überprüfe ferner ihre
Gültigkeit für $r = 41$.
}
+Aus den gewählten Werten von $P,Q$ ergibt sich, dass die Folge $U_{n}$ gleich der Fibonacci-Folge ist. \\
+\begin{enumerate}
+\item[(1)]
+ \begin{equation}\label{eq:4}
+ \left( \frac{D}{r} \right) = \left( \frac{5}{41} \right) = \left( \frac{41}{5} \right) = \left( \frac{1}{5} \right) = 1
+ \end{equation}
+Mit $\alpha:=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\beta:=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ erhält man nun für $U_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\alpha-\beta}$:
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ &U_{40}=1.02334155b8 \quad \textsl{maxima:} (\alpha^{40}-\beta^{40})/(\alpha-\beta) \\
+ &U_{40}=102334155 \quad \textsl{maxima: fib(40)} \\
+ &\mod(1.02334155b8,41)=40.99999999962741 \mod 41 \quad \textsl{maxima}\\
+ &\mod(fib(40),41)=0 \quad \textsl{maxima}
+ \end{align}
+\end{subequations}
+\item[(2)] Aus $r=s2^{t}+\left( \frac{D}{r} \right)$, $s$ ungerade, erhält man nun $s=5,t=3$. Man muss daher die folgenden Elemente betrachten (es gilt $V_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}$):
+ \begin{equation}
+ \label{eq:5}
+ U_{5}=5,V_{5}=11,V_{10}=123 \equiv 0 \mod 41, V_{20}=15127 \equiv 39 \mod 41
+ \end{equation}
+\item[(3)] Es sollte gelten: $U_{r} \equiv \left( \frac{D}{r} \right) \mod r$. Man erhält direkt in maxima:
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ U_{41}=fib(41)=165580141 \\
+ mod(fib(41),41)=1
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+\item[(4)] Es sollte gelten: $V_{r} \equiv P \mod r$.
+ \begin{equation}
+ \label{eq:6}
+ V_{41}=370248451 \equiv 1 \mod 41
+ \end{equation}
+\item[(5)] Es sollte gelten: $V_{\left( r - \left( \frac{D}{r} \right) \right)} \equiv 2Q^{\left( \frac{1-\left( \frac{D}{r} \right)}{2} \right)} \mod r$. Mittels maxima erhält man:
+ \begin{equation}
+ \label{eq:7}
+ V_{40} = 228826127 \equiv 2 \mod 41
+ \end{equation}
+\end{enumerate}
+
\aufgabe{21}
{Man überprüfe jeweils für die Basis $a=2$, ob $n=341$ den Fermattest, den Solovay-
Strassen-Test oder Miller-Rabin-Test besteht. Was wären ferner die Parameter $P$ und $Q$ in
Hinblick auf den Baillie-Wagstaff-Test?
}
+Es gilt $341=11 \cdot 31$.
+\begin{enumerate}
+\item[Fermat]es gilt
+ \begin{equation}
+ \label{eq:8}
+ 2^{340} \equiv 1 \mod 341
+ \end{equation}
+Daher wird der Fermat-Test bestanden.
+\item[Sol-Str] Unter Beachtung des $2.$ Ergänzungssatzes ($341 \equiv 5 \mod 8 \Rightarrow (2/n)=-1$) beachte man
+ \begin{equation}
+ \label{eq:9}
+ 2^{170} \equiv 1 \mod 341
+ \end{equation}
+Daher wird der Solovay-Strassen-Test nicht bestanden, d.h. $2$ ist Zeuge für die Zusammengesetztheit von $341$.
+\item[M-R] Aus $n-1=s \cdot 2^{t} \Rightarrow s=85,t=2$, daher:
+ \begin{equation}
+ \label{eq:10}
+ a^{85} \equiv 32 \mod 341, a^{2\cdot 85} \equiv 1 \mod 341
+ \end{equation}
+Daher wird der Miller-Rabin-Test bestanden.
+\item[B-W] Suche $D \equiv 1 \mod 4$ mit $\left( \frac{D}{n} \right)=-1$, erstmals bei $D=37 \Rightarrow P=7$. Daraus erhält man
+ \begin{equation}
+ \label{eq:11}
+ Q = \frac{P^{2}-D}{4}=\frac{49-37}{4}=\frac{12}{4}=3
+ \end{equation}
+\end{enumerate}
+
\aufgabe{22}
{Ist n das Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen $p$ und $q$, so hat für jedes u die
Löse obige Kongruenz zunächst mod p bzw. q und „kombiniere“ dann diese Lösungen
mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes zu Lösungen $\mod n$.)
}
+Es gilt $n=437=19 \cdot 23$. Daher
+\begin{equation}
+ \label{eq:12}
+ \begin{cases}
+ x^{2} \equiv 49 \mod 19 \\ x^{2} \mod 23
+ \end{cases}
+\Leftrightarrow
+ \begin{cases}
+ x^{2} \equiv 11 \mod 19 \\ x^{2} \equiv 3 \mod 23
+ \end{cases}
+\end{equation}
+Da $p \equiv q \equiv 3 \mod 4$ kann man ``leicht'' Wurzeln ziehen:
+\begin{equation}
+ \label{eq:13}
+ x^{2} \equiv a \mod w \Rightarrow x:=\pm a^{\frac{p+1}{4}} \mod w \textsl{ sind Lösungen.}
+\end{equation}
+Daher
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ \frac{19+1}{4}=\frac{20}{4}=5 \Rightarrow \pm 11^{5} \equiv \pm 7 \mod 19 \\
+ \frac{23+1}{4}=\frac{24}{4}=6 \Rightarrow \pm 3^{6} \equiv \pm 16 \mod 23
+ \end{align}
+\end{subequations}
+Der Chinesische Restsatz besagt nun: \newline
+\begin{boxedminipage}{11,86cm}{
+\centering
+\textsf{Seien $m_{1}, \ldots, m_{k}$ pw teilerfremd, sei $m$ ihr kgV, seien $c_{\kappa} \in \Z_{m_{\kappa}}$. Sei $n_{\kappa}:=\frac{m}{m_{\kappa}}$, sei $n_{\kappa}^{\prime}$das Inverse von $n_{\kappa} \mod m_{\kappa}$. Dann ist
+ \begin{equation}
+ \label{eq:14}
+ x:= \sum \limits_{\kappa=1}^{k} c_{\kappa} \cdot n_{\kappa} \cdot n_{\kappa}^{\prime}
+ \end{equation}
+eine Lösung.}}\end{boxedminipage} \newline
+Es folgt:
+\begin{equation}
+ \label{eq:15}
+ m_{1}=19, n_{1}=23, n_{1}^{\prime}=5, m_{2}=23, n_{2}=19, n_{2}^{\prime}=17
+\end{equation}
+Daher erhält man die folgenden Lösungen:
+\begin{enumerate}
+\item
+ \begin{equation}
+ \label{eq:16}
+ \begin{cases}
+ x \equiv 7 \mod 19 \\ x \equiv 16 \mod 23
+ \end{cases} \Rightarrow x = 5973 \equiv 292 \mod 437
+ \end{equation}
+\item
+ \begin{equation}
+ \label{eq:17}
+ \begin{cases}
+ x \equiv - 7 \mod 19 \\ x \equiv 16 \mod 23
+ \end{cases} \Rightarrow
+ \begin{cases}
+ x \equiv 12 \mod 19 \\ x \equiv 16 \mod 23
+ \end{cases} \Rightarrow x=430
+ \end{equation}
+\item
+ \begin{equation}
+ \label{eq:19}
+ \begin{cases}
+ x \equiv 7 \mod 19 \\ x \equiv -16 \mod 23
+ \end{cases} \Rightarrow
+ \begin{cases}
+ x \equiv 7 \mod 19 \\ x \equiv 7 \mod 23
+ \end{cases} \Rightarrow x=7
+ \end{equation}
+
+\item
+ \begin{equation}
+ \label{eq:18}
+ \begin{cases}
+ x \equiv 12 \mod 19 \\ x \equiv 7 \mod 23
+ \end{cases} \Rightarrow x = 145
+ \end{equation}
+\end{enumerate}
+Insgesamt erhält man daher die Lösungspaare $\pm 7, \pm 145 \mod 431$.
+
\aufgabe{23}
{Man zeige, dass eine Zahl $n$ der Form $n = pqr$, wobei $p,q,r$ Primzahlen der Form
sind, stets eine Carmichaelzahl ist, d.h. die Bedingung $a^{n −1} \equiv 1 \mod n$ für alle zu $n$
teilerfremden Basen $a \in Z$ erfüllt, obwohl sie zusammengesetzt ist.
}
+Unter Verwendung des folgenden Satzes von Korselt:
+\begin{equation}
+ \label{eq:21}
+ \textsl{ungerade Zahl n ist CM-Zahl } \Leftrightarrow \left[ n \textsl{ ist quadratfrei } \land \forall p \in \P: p \mid n \Rightarrow p-1 \mid n-1 \right]
+\end{equation}
+$n$ ist nach Konstruktion als Produkt von drei ungeraden Zahlen selbst ungerade, daher wende das Kriterium von Korselt an: insbesondere sind $p,q,r$ drei verschiedene Primzahlen, daher ist $n$ quadratfrei. \\
+Für die Primteiler von $n$ gilt nun: \\
+einfaches Einsetzen liefert:
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ n=pqr=(6m+1)(12m+1)(18m+1)=\ldots=1296m^{3}+396m^{2}+36m+1 \\
+\implies n-1=1296m^{3}+396m^{2}+36m
+ \end{align}
+\end{subequations}
+Man erhält nun direkt:
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ 18 \mid 36, 18 \mid 396 (22 \cdot 18=396), 18 \mid 1296 (=18\cdot 72) \implies r-1 \mid n-1 \\
+12\mid 36, 12 \mid 396 (=12 \cdot 33), 12 \mid 1296 (=12 \cdot 108) \implies q-1 \mid n-1 \\
+p-1 \mid n-1 \textsl{ ist klar.}
+ \end{align}
+\end{subequations}
+
\aufgabe{24}
{Man zeige: Besteht eine ungerade natürliche Zahl $n>1$ den Fermattest für die Basis $2$,
so besteht dann $2^n − 1$ sogar den Miller-Rabin Test für die Basis $2$.
}
-
-\end{document}
+Aus dem Fermattest erhält man:
+\begin{equation}
+ \label{eq:22}
+ 2^{n-1} \equiv 1 \mod n \Rightarrow 2^{n-1}-1=\kappa n
+\end{equation}
+Aus $n>1$ folgt $\kappa \geq 1$. \\
+%Nach Bsp$19$ gilt: $\eta \mid \varphi(2^{\eta}-1)$. \\
+Für $\tilde{n}:=2^{n}-1$ erhält man nun aus $\tilde{n}-1=2^{t}s$, dass $s=2^{n-1}-1,t=1$. \\
+Behauptung: $2^{s} \equiv 1 \mod \tilde{n}$ \\
+% Aus
+% \begin{equation}
+% \gcd(2,\tilde{n})=1 \implies 2 \in \Z_{\tilde{n}}^{*} \implies 2^{\varphi(\tilde{n})} \equiv 1 \mod \tilde{n}
+% \end{equation}
+Aus $2^{n-1}<2^{n}-1$ (bei ``='' hätte man $n=1$ WS zu Voraussetzung), folgt $ord(2)_{\Z_{\tilde{n}}}=n$. Daher gilt
+\begin{equation}
+ \label{eq:23}
+ 2^{\kappa n} = (2^{n})^{\kappa} \equiv 1 \mod (2^{n}-1)
+\end{equation}
+\end{document}
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