-@comment{x-kbibtex-personnameformatting=<%l><, %f>}
+% This file was created with JabRef 2.7b.
+% Encoding: UTF-8
-@article{dor:adapt,
- __markedentry = "[treecity:6]",
- abstract = "We construct a converging adaptive algorithm for linear elements applied to Poisson's equation in two space dimensions. Starting from a macro triangulation, we describe how to construct an initial triangulation from a priori information. Then we use a posteriori error estimators to get a sequence of refined triangulations and approximate solutions. It is proved that the error, measured in the energy norm, decreases at a constant rate in each step until a prescribed error bound is reached. Extensions to higher-order elements in two space dimensions and numerical results are included.",
- author = "Dörfler, Willy",
- copyright = "Copyright © 1996 Society for Industrial and Applied Mathematics",
- issn = "00361429",
- journal = "SIAM Journal on Numerical Analysis",
- jstor_articletype = "research-article",
- jstor_formatteddate = "Jun., 1996",
- number = "3",
- owner = "treecity",
- pages = "pp. 1106--1124",
- publisher = "Society for Industrial and Applied Mathematics",
- timestamp = "2012.10.04",
- title = "{A Convergent Adaptive Algorithm for Poisson's Equation}",
- url = "http://www.jstor.org/stable/2158497",
- volume = "33",
- year = "1996"
+@ARTICLE{bor:errbox,
+ author = {Börm, Steffen and Grasedyck, Lars},
+ title = {Low-Rank Approximation of Integral Operators by Interpolation},
+ journal = {Computing},
+ year = {2004},
+ volume = {72},
+ pages = {325-332},
+ abstract = {A central component of the analysis of panel clustering techniques
+ for the approximation of integral operators is the so-called η -admissibility
+ condition “ min {diam(τ),diam(σ)} ≤ 2ηdist(τ,σ)” that ensures that
+ the kernel function is approximated only on those parts of the domain
+ that are far from the singularity. Typical techniques based on a
+ Taylor expansion of the kernel function require a subdomain to be
+ “far enough” from the singularity such that the parameter η has to
+ be smaller than a given constant depending on properties of the kernel
+ function. In this paper, we demonstrate that any η is sufficient
+ if interpolation instead of Taylor expansion␣is␣used for the kernel
+ approximation, which paves the way for grey-box panel clustering
+ algorithms.},
+ doi = {10.1007/s00607-003-0036-0},
+ issn = {0010-485X},
+ issue = {3-4},
+ owner = {treecity},
+ publisher = {Springer-Verlag},
+ timestamp = {2013.02.11},
+ url = {http://dx.doi.org/10.1007/s00607-003-0036-0}
}
-@article{fer:errbem,
- author = "Ferraz-Leite, Samuel and Praetorius, Dirk",
- journal = "Computing",
- number = "4",
- pages = "135--162",
- title = "{Simple a posteriori error estimators fot the h-version of the boundary element method}",
- volume = "83",
- year = "2008"
+@ARTICLE{dor:adapt,
+ author = {Dörfler, Willy},
+ title = {{A Convergent Adaptive Algorithm for Poisson's Equation}},
+ journal = {SIAM Journal on Numerical Analysis},
+ year = {1996},
+ volume = {33},
+ pages = {pp. 1106--1124},
+ number = {3},
+ abstract = {We construct a converging adaptive algorithm for linear elements applied
+ to Poisson's equation in two space dimensions. Starting from a macro
+ triangulation, we describe how to construct an initial triangulation
+ from a priori information. Then we use a posteriori error estimators
+ to get a sequence of refined triangulations and approximate solutions.
+ It is proved that the error, measured in the energy norm, decreases
+ at a constant rate in each step until a prescribed error bound is
+ reached. Extensions to higher-order elements in two space dimensions
+ and numerical results are included.},
+ copyright = {Copyright © 1996 Society for Industrial and Applied Mathematics},
+ issn = {00361429},
+ jstor_articletype = {research-article},
+ jstor_formatteddate = {Jun., 1996},
+ owner = {treecity},
+ publisher = {Society for Industrial and Applied Mathematics},
+ timestamp = {2012.10.04},
+ url = {http://www.jstor.org/stable/2158497}
}
-@techreport{mai:3dbem,
- author = "Maischak, Matthias",
- institution = "Institut f{\"u}r Angewandte Mthematik, University of Hannover",
- month = jul,
- title = "{The analytical computation of the Galerkin elements for the Laplace, Lam{\'e} and Helmholtz equation in 3D-BEM}",
- year = "2000"
+@ARTICLE{fer:errbem,
+ author = {Ferraz-Leite, Samuel and Praetorius, Dirk},
+ title = {{Simple a posteriori error estimators fot the h-version of the boundary
+ element method}},
+ journal = {Computing},
+ year = {2008},
+ volume = {83},
+ pages = {135--162},
+ number = {4}
+}
+
+@TECHREPORT{mai:3dbem,
+ author = {Maischak, Matthias},
+ title = {{The analytical computation of the Galerkin elements for the Laplace,
+ Lam{\'e} and Helmholtz equation in 3D-BEM}},
+ institution = {Institut f{\"u}r Angewandte Mthematik, University of Hannover},
+ year = {2000},
+ month = jul
+}
+
+@BOOK{pla:nummat,
+ title = {{Numerische Mathematik kompakt}},
+ publisher = {Vieweg Verlag},
+ year = {2006},
+ author = {Plato, Robert},
+ owner = {treecity},
+ timestamp = {2013.02.11}
+}
+
+@UNPUBLISHED{pra:hmat,
+ author = {Praetorius, Dirk},
+ title = {Hierarchische Matrizen und Fast Multipole Method},
+ year = {2009},
+ owner = {treecity},
+ timestamp = {2013.02.11}
}
unter bestimmten Voraussetzungen an die affinen Randstücke $T_j,T_k$ und den asymptotisch glatten Integranden $\kappa : \R^3 \times \R^3 \to \R$.
\subsection{Interpolation}
-An dieser stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. Ferner wollen wir mithilfe von Chebyshev-Knoten einen Fehlerschätzer für die Chebyshev'sche Interpolation auf Intervallen $[0,1]^d$ mit $d \in \N$ definieren. Im Folgenden bezeichnet $\P^p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$ auf $[0,1]$.
+An dieser stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. Ferner wollen wir mithilfe von Chebyshev-Knoten einen Fehlerschätzer für die Chebyshev'sche Interpolation auf Intervallen $[0,1]^d$ mit $d \in \N$ definieren. Im Folgenden bezeichnet $\P^p$ die Menge aller Polynome vom Grad $\leq p$ auf $[0,1]$.
\begin{defi}
Für einen festen Grad $p \in \N$ und paarweise verschiedene Knoten $x_j \in [0,1]$ lautet das Lagrange'sche Interpolationsproblem:
-Zu gegebenen Funktionswerten $y_j \in \R$ finde ein Polynom $q \in \P^{p-1}$ so, dass
+Zu gegebenen Funktionswerten $y_j \in \R$ finde ein Polynom $q \in \P^{p}$ so, dass
\begin{align*}
- q(x_j) &=y_j \quad \text{ für alle } j=1,\ldots,p.
+ q(x_j) &=y_j \quad \text{ für alle } j=0,\ldots,p.
\end{align*}
\end{defi}
-Für die Lagrange-Polynome
+Wir wissen aus \cite[Theorem 1.6]{pla:nummat}, dass für das Lagrange'sche Interpolationsproblem die eindeutige Lösung gegeben ist durch
\begin{align*}
-L_j(x) &= \prod_{i=1 \atop i\neq j}^p \frac{x-x_i}{x_j-x_i}.
+q&=\sum_{j=0}^py_jL_j,
\end{align*}
-wissen wir aus \todo{cite}, dass für das Lagrange'sche Interpolationsproblem eine eindeutige Lösung gegeben ist durch
+wobei die Lagrange-Polynome $L_j$ definiert sind durch
\begin{align*}
-q&=\sum_{j=1}^py_jL_j.
+L_j(x) &= \prod_{i=0 \atop i\neq j}^p \frac{x-x_i}{x_j-x_i}.
+\end{align*}
+Mit diesem Wissen definieren wir uns nun den Interpolationsoperator $\I_p : \C[0,1]\to\P^{p}$
+\begin{align*}
+\I_pu &:= \sum_{j=0}^p u(x_j)L_j.
\end{align*}
-Mit diesem Wissen definieren wir uns nun den Interpolationsoperator $\I_p : \C[0,1]\to\P^{p-1}$
-\begin{align}
-\I_pu &:= \sum_{j=1}^p u(x_j)L_j.
-\end{align}
% Ferner definieren wir noch die Lebesgue Konstante
% \begin{align}
% \Lambda_p &:= \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=0}^p\abs{L_j(x)}.
% \end{align}
-Wie an der einfachen Fehlerabschätzung für den Interpolationsoperator
-\begin{align}
-\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq 2\frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!} \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=1}^n \abs{x-x_j}
-\quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1])
-\end{align}
- zu sehen ist \todo{cite}, hängt diese noch von der Wahl der Knoten ab. Um den Fehler weiter zu verbessern, werden wir das Produkt
+Wie an der einfachen Fehlerabschätzung aus \cite[Theorem 1.17]{pla:nummat} für den Interpolationsoperator
\begin{align*}
- \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=1}^n \abs{x-x_j}
+\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq \frac{\norm{u^{(p+1)}}_{\infty,[0,1]}}{(p+1)!} \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^p \abs{x-x_j}
+\quad \text{ für alle }u \in \C^{p+1}([0,1])
\end{align*}
-durch benutzen von Chebyshev-Knoten minimieren \todo{cite}. Diese sind für das Intervall $[-1,1]$ gegeben durch
+ zu sehen ist, hängt diese noch von der Wahl der Knoten ab. Um den Fehler weiter zu verbessern, werden wir das Produkt
\begin{align*}
- x_j &= \cos \left( \frac{2j-1}{p} \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{ für } j=1,\ldots,p.
+ \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^p \abs{x-x_j}
\end{align*}
-Durch affine Transformation der Chebyshev-Knoten ergibt sich die Fehlerabschätzung
-\begin{align}
+durch benutzen von Chebyshev-Knoten minimieren \cite[Definition 1.22]{pla:nummat}. Diese sind für das Intervall $[-1,1]$ gegeben durch
+\begin{align*}
+ x_j &= \cos \left( \frac{2j-1}{p} \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{ für } j=0,\ldots,p.
+\end{align*}
+Durch affine Transformation der Chebyshev-Knoten \cite[Theorem 1.25]{pla:nummat} ergibt sich die Fehlerabschätzung
+\begin{align*}
\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]}
- &\leq 4 \frac{4^{-p}}{p!}\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}
- \quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1])
-\end{align}
+ &\leq 2 \frac{4^{-p}}{ (p+1)!}\norm{u^{(p+1)}}_{\infty,[0,1]}
+ \quad \text{ für alle }u \in \C^{p+1}([0,1])
+\end{align*}
für Chebyshev-Polynome.\\
Ferner wollen wir nun die Interpolation auf Boxen der Gestalt $[0,1]^d$ mit $d\in\N$ einführen. Hierzu definieren wir uns mit dem Tensorprodukt den Interpolationsoperator
-\begin{align}
+\begin{align*}
\I_p^{d} := \bigotimes_{i=1}^d \I_p \quad \text{ für Boxen } [0,1]^d.
-\end{align}
+\end{align*}
Weiterhin benötigen wir für die Abschätzung die Lebesgue-Konstante
-\begin{align}
- \Lambda_p := \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=1}^p \abs{L_j(x)}.
-\end{align}
-Dann können wir eine Fehlerabschätzung für den Interpolationsoperator $\I_p^d$ anschreiben \todo{cite}
-\begin{align}
+\begin{align*}
+ \Lambda_p := \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=0}^p \abs{L_j(x)}.
+\end{align*}
+Dann können wir die Fehlerabschätzung für den Interpolationsoperator $\I_p^d$ aus \cite[Theorem 2.12]{pra:hmat} anschreiben
+\begin{align*}
\norm{u-\I_p^d u}_{\infty,[0,1]^d}
- &\leq 4\frac{ 4^{-p}}{p!}\lambda_p^{d-1}\sqrt p\sum_{j=1}^d \norm{\partial_j^d u^{(p)}}_{\infty,[0,1]^d}
+ &\leq \frac{ 4^{-p}\Lambda_p^{d-1}}{(p+1)!}\sqrt d ^{(p+1)} \sum_{j=1}^d \norm{\partial_j^{(p+1)} u}_{\infty,[0,1]^d}
\quad \text{ für alle }u \in \C^{p+1}([0,1]^d).
-\end{align}
+\end{align*}
\subsection{Gauss-Quadratur}
Im Folgenden wollen wir die klassische Gauss-Quadratur definieren, welche durch Verwendung der 1-Funktion statt der Gewichtungsfunktion entsteht.
Unter einer Quadratur verstehen wir die approximative Berechnung eines Integrals der Form
-\begin{align}
+\begin{align*}
\int_0^1 f(x) dx
-\end{align}
+\end{align*}
durch die Summe
-\begin{align}
- \Q(f) &:= \sum_{k=0}^n w_kf(t_k).
-\end{align}
+\begin{align*}
+ \Q(f) &:= \sum_{k=0}^n w_k f(t_k) .
+\end{align*}
Die $t_k$ sind hierbei die Knoten, die $w_k$ Gewichte.
Eine Quadratur heißt exakt für eine Funktion $f$, falls $\Q(f) = \int_0^1 f(x) dx$ ist.\\
Eine Quadratur hat den Exaktheitsgrad $m$, wenn sie für alle Polynome bis zum Grad $m$ exakt ist.\\
Eine Quadratur heißt interpolatorisch (vom Grad $n$), falls für jede integrierbare, auf $(0,1)$ stetige Funktion $f$
-\begin{align}
- \Q_n(f) &:= \sum_{k=0}^n w_kp(t_k)
-\end{align}
+\begin{align*}
+ \Q_n(f) &:= \sum_{k=0}^n w_k f(t_k) = \sum_{k=0}^n w_k p(t_k) = \int_0^1 p(x) dx
+\end{align*}
gilt, wobei $p$ das Interpolationspolynom von $f$ vom Grad $n$ zu den Knoten $t_0,\ldots,t_n$ ist.
% \todo{\subsection{---}
% \begin{align}
% \subsubsection{Glatter Kern}
% Das Integral über $T_j$ kann durch die analytische Doppelintegral Funktion ersetzt werden. Die Quadratur über $T_k$ wird nun mittels einer doppelten Gauss-Quadratur berechnet.
-Zunächst wollen wir zeigen, dass wir die vier Integrale aus \eqref{math:gal:kap+} gut durch die Gauss-Quadratur approximieren können. Hierzu werden wir folgende Vorüberlegungen benötigen.
+Zunächst wollen wir zeigen, dass wir die vier Integrale aus \eqref{math:gal:kap+} gut durch die Gauss-Quadratur approximieren können. Hierzu werden wir einige Vorüberlegungen benötigen.
\begin{defi}\label{thm:sem:glatt}
Die Kern-Funktion $\kappa(\bs x,\bs y)$ heißt asymptotisch glatt, falls sie glatt ist für $\bs x \neq \bs y$ und Konstanten $c_1,c_2>0$ und eine Ordnung der Singularität $s \in \R$ existieren, sodass
- \begin{align} % Glatter KERN
+ \begin{align*} % Glatter KERN
\abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\partial_{\bs y}^{\beta}\kappa(\bs x, \bs y)}
&\leq c_1(c_2(\abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha} + \abs{\beta})!
- \end{align}
+ \end{align*}
für alle Multiindizes $\alpha,\beta \in \N_0^d$ mit $\abs{\alpha}+\abs{\beta}\geq 1$ gilt.
\end{defi}
\noindent
-Wie wir im Folgenden sehen werden, lassen sich asymptotisch glatte Kernfunktionen gut durch Polynome interpolieren. Hierzu benötigen wir das folgende Lemma:
-
+Wie wir im Folgenden sehen werden, lassen sich asymptotisch glatte Kernfunktionen gut durch Polynome interpolieren. Hierzu benötigen wir aus \cite[Theorem 3.2]{bor:errbox} das folgende Lemma:
\begin{lem}\label{thm:sem:ipolnD} %Interpol über Glatten KERN nD
-Die Funktion $u \in \C^{\infty}([0,1])^d$ erfüllt für Konstanten $C_u,\rho_u > 0$
-\begin{align}
+Die Funktion $u \in \C^{\infty}([0,1])^d$ erfülle für Konstanten $C_u,\rho_u > 0$
+\begin{align*}
\norm{\partial_j^nu}_{\infty,{[0,1]^d}} &\leq C_u \rho_u^nn!\quad\text{~für alle~} j \in \{1,\ldots,d\} \text{~und~} n \in \N_0.
-\end{align}
+\end{align*}
Dann gilt für alle $p\in \N_0$
\begin{align}\label{math:sem:ipolnD}
- \norm{u-\I_p^d u}_{\infty,{[0,1]^d}} &\leq C_u 8e(1+\sqrt d\rho_u)\Lambda_p^d p\left(1+\frac{2}{\sqrt d\rho_u}\right)^{-p}.
+ \norm{u-\I_p^d u}_{\infty,{[0,1]^d}} &\leq C_u 8e(1+\rho_u\sqrt d)\Lambda_p^d (p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u\sqrt d}\right)^{-(p+1)}.
\end{align}
\end{lem}
% Quadratur -----------------------------------------
Weiterhin wollen wir uns kurz die Ableitung der asymptotisch glatten Kernfunktion mit einer Parametrisierung anschauen.
\begin{lem} \label{thm:sem:kett}
- Sei $\kappa(\cdot , \cdot) : \R^6 \rightarrow \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion und sei weiterhin $ g: \R^4 \rightarrow \R^6$ die Parametrisierung der achsenorientierten Rechtecke $T_j$ und $T_k$
+ Sei $\kappa(\cdot , \cdot) : \R^3\times\R^3 \rightarrow \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion und sei weiterhin $ g: \R^4 \rightarrow \R^6$ die Parametrisierung zweier achsenorientierten Rechtecke $T_j$ und $T_k$, mit $T_j \cap T_k = \emptyset$
\begin{align}
g(\lambda) = (\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4)),
\end{align}
wobei $\bs a_j,\bs b_j \in \R^3$ die paarweise verschiedenen Einheitsvektoren zur Parametrisierung $\gamma_j$ sind und für den Index $k$ analog, gilt dann für die Verknüpfung $\kappa \circ g$ die Kettenregel
\begin{align*}
\abs{\partial^{\alpha}(\kappa \circ g)(\lambda)}
- &= \diam(T_j)_{\bs a}^{\alpha_1}\diam(T_j)_{\bs b}^{\alpha_2} \diam(T_k)_{\bs a}^{\alpha_3}\diam(T_k)_{\bs b}^{\alpha_4} \abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}(\kappa)(g(\lambda))}
+ &= \diam(T_j)_{\bs a}^{\alpha_1}\diam(T_j)_{\bs b}^{\alpha_2} \diam(T_k)_{\bs a}^{\alpha_3}\diam(T_k)_{\bs b}^{\alpha_4} \abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa (g(\lambda))}
\end{align*}
- mit dem Multiindex $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$, wobei $\abs{\alpha} \geq 1$ gilt.
+ für jeden Multiindex $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$, mit $\abs{\alpha} \geq 1$.
\end{lem}
\begin{align*}
D(\kappa \circ g)(\lambda) = D\kappa(g(\lambda)) \circ D g(\lambda) \qquad \in \R^{1\times 4}.
\end{align*}
-Mithilfe der Jacobimatrizen $A \in \R^{1\times 6}$, $B \in\R^{6\times 4}$ und $m,\ell \in \N$
-\begin{align*}
- A_{1\ell} &= \partial_{\ell} \kappa(g(\lambda)) \\
- B_{\ell m} &= \partial_m g_{\ell}(\lambda)
-\end{align*}
-untersuchen wir zunächst die Ableitungen
+Mithilfe der Jacobimatrizen $A := \partial \kappa(g(\lambda)) \in \R^{1\times 6}$, $B := \partial g(\lambda) \in\R^{6\times 4}$ untersuchen wir zunächst die partiellen Ableitungen
\begin{align}
\partial_m (\kappa \circ g)(\lambda) &= (AB)_{1m} = \sum_{\ell=1}^6 A_{1\ell} B_{\ell m} = \sum_{\ell=1}^6 \partial_{\ell} \kappa(g(\lambda)) \partial_m g_{\ell}(\lambda).
\end{align}
\begin{align*}
g_{1,2,3}(\lambda) &= \gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) = \bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b},
\end{align*}
-mit $\bs a, \bs b \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$, $\bs a \neq \bs b$ und $a,b \in \R$ mit $a,b > 0$,
+mit den Variablen $\bs a, \bs b \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$, $\bs a \neq \bs b$ und $a,b \in \R$ mit $a,b > 0$ der Parametrisierung zum Rechteck $T_j$,
wodurch sich die folgenden Ableitungen ergeben.
\begin{align*}
\partial_1 g_{1,2,3}(\lambda) &= a {\bs a} &
\partial_2 g_{1,2,3}(\lambda) &= b {\bs b} &
\partial_{3,4} g_{1,2,3}(\lambda) &= 0
\end{align*}
-Für die letzten drei Komponenten, wobei $\tilde{ \bs a}, \tilde{\bs b}$ analog definiert seien,
+Für die letzten drei Komponenten, wobei für die Parametrisierung des Rechtecks $T_k$ die Variablen $\tilde{ \bs a}, \tilde{\bs b}$ analog definiert seien,
\begin{align*}
g_{4,5,6}(\lambda) &= \gamma_k(\lambda_3,\lambda_4) = \tilde {\bs v} + \lambda_3 \tilde a \tilde{ \bs a} + \lambda_4 \tilde b \tilde{ \bs b}
\end{align*}
-können wir die Ableitungen analog anschreiben. Hierbei müssen wir nur beachten, dass sich die Indizierung von $ \tilde {\bs a}, \tilde {\bs b}$ ändert, weshalb wir hier die Komponenten
+können wir die Ableitungen ebenfalls anschreiben. Hierbei müssen wir nur beachten, dass sich die Indizierung von $ \tilde {\bs a}, \tilde {\bs b}$ ändert, weshalb wir hier die Komponenten
\begin{align*}
\partial_{1,2} g_{\ell}(\lambda) &= 0 &
\partial_3 g_{\ell}(\lambda) &= \tilde a \tilde{ \bs a}_{\ell -3} &
% \begin{equation}
\begin{align*}
% \begin{split}
- \partial_1 (\kappa \circ g)(\lambda) &= a \cdot \partial_{ind(\bs a)}\kappa(g(\lambda))&
- \partial_3 (\kappa \circ g)(\lambda) &= \tilde a \cdot \partial_{ind(\tilde{\bs a})+3}\kappa(g(\lambda))\\
- \partial_2 (\kappa \circ g)(\lambda) &= b \cdot \partial_{ind(\bs b)}\kappa(g(\lambda))&
- \partial_4 (\kappa \circ g)(\lambda) &= \tilde b \cdot \partial_{ind(\tilde{\bs b})+3}\kappa(g(\lambda))
+ \partial_1 (\kappa \circ g)(\lambda) &= a \partial_{ind(\bs a)}\kappa(g(\lambda))&
+ \partial_3 (\kappa \circ g)(\lambda) &= \tilde a \partial_{ind(\tilde{\bs a})+3}\kappa(g(\lambda))\\
+ \partial_2 (\kappa \circ g)(\lambda) &= b \partial_{ind(\bs b)}\kappa(g(\lambda))&
+ \partial_4 (\kappa \circ g)(\lambda) &= \tilde b \partial_{ind(\tilde{\bs b})+3}\kappa(g(\lambda))
% \end{split}
\end{align*}
% \end{equation}
Des Weiteren bestehen die ersten Ableitungen nur aus einem Skalar und dem asymptotisch glatten Kern $\partial_{\ell}\kappa(g(\lambda))$, weshalb wir die Kettenregel beliebig oft anwenden können.
Mithilfe der Funktion $t_{jk} : \N^4 \rightarrow \N^6$ können wir abschließend für Multiindex $\alpha \in \N_0^4$ die partiellen Ableitungen $\partial^{\alpha} (\kappa \circ g)(\lambda)$ anschreiben
\begin{align*}
- \partial^\alpha (\kappa \circ g)(\lambda) &= a^{\alpha_1} b^{\alpha_2} \tilde a^{\alpha_3} \tilde b^{\alpha_4} \cdot \partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g(\lambda)).
+ \partial^\alpha (\kappa \circ g)(\lambda) &= a^{\alpha_1} b^{\alpha_2} \tilde a^{\alpha_3} \tilde b^{\alpha_4} \partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g(\lambda)).
\end{align*}
\end{beweis}
\begin{sat} \label{thm:sem:pol:V} Seien $T_j,T_k \subseteq \R^3$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa(\cdot,\cdot)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
\begin{align*}
- C_{\zeta_Q,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{2\zeta_Q}{c_2} \right)
+ C_{\zeta_Q,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)
\end{align*}
die Abschätzung
\begin{align*}
\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))&-\I_p^4\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))}_{\infty,[0,1]^4}
- \leq C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4 p\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-p}.
+ \leq C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4 (p+1)\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{-(p+1)}.
\end{align*}
\end{sat}
\begin{beweis} Zunächst definieren wir die Konstanten
\begin{align*}
- C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{\zeta_Q}{c_2}
+ C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{1}{c_2\zeta_Q}
\end{align*}
und können dann die Konstante $C_{\zeta_Q,j,k}$ kurz
\begin{align*}
\begin{align}
g_{jk}(\lambda) = (\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4))
\end{align}
- mit der jeweiligen Parametrisierung $\gamma_j, \gamma_k$ zu $T_j, T_k$ aus Definition \ref{math:def:T}. So gilt Aufgrund von Lemma \ref{thm:sem:kett}
+ mit der jeweiligen Parametrisierung $\gamma_j, \gamma_k$ zu $T_j, T_k$ aus Definition \ref{math:def:T}. So gilt aufgrund von Lemma \ref{thm:sem:kett}
\begin{align*}
% \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa} &=
- \Abs{\partial_\lambda^{\alpha}\kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_1,\lambda_2))}
+ \Abs{\partial_\lambda^{\alpha}\kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4))}
&=\Abs{\partial_\lambda^{\alpha}\kappa(g_{jk}(\lambda))}\\
- &= \diam(T_j)_{\bs a}^{\alpha_1}\diam(T_j)_{\bs b}^{\alpha_2} \diam(T_k)_{\bs a}^{\alpha_3}\diam(T_k)_{\bs b}^{\alpha_4} \Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}(\kappa)(g_{jk}(\lambda))}\\
- &\leq\diam(T_j)^{\alpha_1 + \alpha_2}\diam(T_k)^{\alpha_3 + \alpha_4} \Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}(\kappa)(g_{jk}(\lambda))}\\
- &\leq \max\{\diam(T_j),\diam(T_k)\}^{\abs{\alpha}} \Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}(\kappa)(g_{jk}(\lambda))},
+ &= \diam(T_j)_{\bs a}^{\alpha_1}\diam(T_j)_{\bs b}^{\alpha_2} \diam(T_k)_{\bs a}^{\alpha_3}\diam(T_k)_{\bs b}^{\alpha_4} \Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g_{jk}(\lambda))}\\
+ &\leq\diam(T_j)^{\alpha_1 + \alpha_2}\diam(T_k)^{\alpha_3 + \alpha_4} \Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g_{jk}(\lambda))}\\
+ &\leq \max\{\diam(T_j),\diam(T_k)\}^{\abs{\alpha}} \Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g_{jk}(\lambda))},
\end{align*}
mit Multiindex $\alpha = (\alpha_1, \ldots , \alpha_4)$, wobei $\abs{\alpha}>0$ sei.
Ferner gilt mit Definition \ref{thm:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
\begin{align*}
-\max\{\diam(T_j),\diam(T_k)\}^{\abs{\alpha}} &\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}(\kappa)(g_{jk}(\lambda))}\\
+\max\{\diam(T_j),\diam(T_k)\}^{\abs{\alpha}} &\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g_{jk}(\lambda))}\\
\leq& \max\{\diam(T_j),\diam(T_k)\}^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) - \gamma_k(\lambda_3,\lambda_4)})^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
- = & \max\{\diam(T_j),\diam(T_k)\}^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
- = & \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x - \bs y})^s} \left( \frac{\max(\diam(T_j),\diam(T_k))}{c_2 \abs{\bs x - \bs y}} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
+ = & \max\{\diam(T_j),\diam(T_k)\}^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \dist(T_j,T_k))^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
+ = & \frac{c_1}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\max(\diam(T_j),\diam(T_k))}{c_2 \dist(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
\leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
\end{align*}
-wobei $\bs x \in T_j$ und $\bs y \in T_k$ sei, mit $\zeta_Q$-zulässigen $T_j, T_k$ . Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt die Abschätzung
+wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ und $\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4) \in T_k$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt die Abschätzung
\begin{align*}
\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))&-\I_p^4\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))}_{\infty,[0,1]^4}\\
- &\leq C_{\kappa} 8e(1+2\rho_{\kappa})\Lambda_p^4p\left(1+\frac{1}{\rho_{\kappa}}\right)^{-p}\\
+ &\leq C_{\kappa} 8e(1+2\rho_{\kappa})\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{1}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
% &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_p^4p\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-p}\\
- &= C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4p\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-p}.
+ &= C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{-(p+1)}.
\end{align*}
Damit ist der Beweis abgeschlossen.
\end{beweis}
\begin{sat}\label{thm:sem:quad:V}
Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
\begin{align} \label{math:sem:zetaQ:c}
- \tilde C_{\zeta_Q,j,k}&:=2^4e\frac{c_1\abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{2\zeta_Q}{c_2} \right)
+ \tilde C_{\zeta_Q,j,k}&:=2^4e\frac{c_1\abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)
\end{align}
Dann gilt mit $\bs \lambda_j = (\lambda_1,\lambda_2)$ und $\bs \lambda_k = (\lambda_3,\lambda_4)$ für das Integral
\begin{align}
\end{align*}
die Abschätzung
\begin{align}
- \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&\leq \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4p\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2p}
+ \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&\leq \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_{2p+1}^4(p+1)\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{-2(p+1)}
\end{align}
\end{sat}
-\begin{beweis} Da die Gauss-Quadratur interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist, gilt:
+\begin{beweis}Wir wissen aus \cite[Korollar 6.38]{pla:nummat}, dass die Gauss-Quadratur interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist, unter Berücksichtigung, der hier verwendeten Indizierung von 0 statt 1. Deshalb gilt
\begin{align*}
(A_p)_{jk}
&=\abs{T_j}\abs{T_k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j( \lambda_{a},\lambda_{b}),\gamma_k(\lambda_{c},\lambda_{d}))\\
&\leq \abs{T_j}\abs{T_k}\int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \Abs{\kappa(\gamma_j(\bs \lambda_j),\gamma_k(\bs \lambda_k)) - \I_{2p+1}^4 \kappa(\gamma_j(\bs \lambda_j),\gamma_k(\bs \lambda_k))} d{\bs \lambda_k} d{\bs \lambda_j}\\
&\leq \abs{T_j}\abs{T_k} \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))-\I_{2p+1}^4\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))}_{\infty,[0,1]^4}
\end{align*}
-Mithilfe von Satz \ref{thm:sem:pol:V} erhalten wir die Behauptung
+Mithilfe von Satz \ref{thm:sem:pol:V} für den Grad $2p+1$ erhalten wir die Behauptung
\begin{align*}
\abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}
- &\leq \abs{T_j}\abs{T_k} C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^42p\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2p}\\
- &= \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4p\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2p}.
+ &\leq \abs{T_j}\abs{T_k} C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_{2p+1}^42(p+1)\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{-2(p+1)}\\
+ &= \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_{2p+1}^4(p+1)\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{-2(p+1)}.
\end{align*}
\end{beweis}
+\noindent
+ Da die Konstante $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$ durch die Netzverfeinerung, aufgrund der Distanz sehr groß werden könnte, untersuchen wir sie an dieser Stelle noch einmal etwas genauer.
+ Mitithilfe der folgenden Abschätzung
+ \begin{align*}
+ \tilde C_{\zeta_Q,j,k} & = 2^4 e \frac{c_1 \abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s}\left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\\
+ & \leq 2^4 e \frac{c_1 \abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2 \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\})^s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\\
+ & \leq 2^4 e \frac{c_1 \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^4}{(c_2 \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\})^s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\\
+ & = 2^4 e \frac{c_1}{(c_2 \zeta_Q)^s} \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{4-s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right),
+ \end{align*}
+ welche unabhängig von der im Netz auftretenden Distanzen ist, können wir also eine gute Aussage über die Stabilität der Zulässigkeitsbedingung im Zuge der Netzverfeinerung treffen.
+
+
\begin{bem}
$\Lambda_p$ wächst für Chebyshev-Polynome im wesentlichen logarithmisch in $p$. Daher konvergiert $(A_p)_{jk}$ für wachsenden Quadraturgrad $p$ exponentiell schnell gegen $A_{jk}$.
\end{align*}
\item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta_Q$-zulässig, so ist
\begin{align*}
- (A_p)_{jk} := (A_{\zeta_Q})_{jk}.
+ (A_p)_{jk} := \abs{T_j}\abs{T_k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j( \lambda_{a},\lambda_{b}),\gamma_k(\lambda_{c},\lambda_{d})).
\end{align*}
\end{itemize}
\end{defi}
\begin{sat}
- Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke. Sei $\kappa : \R^2\times \R^2 \to \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2$ und Singularitätsordung $s \geq 0$. Sei $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$ wie in \eqref{math:sem:zetaQ:c}. Seien $A\in \R^{n \times n}$ eine Matrix, deren Einträge gegeben sind durch
+ Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke. Sei $\kappa : \R^3\times \R^3 \to \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2$ und Singularitätsordung $s \geq 0$. Sei $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$ wie in \eqref{math:sem:zetaQ:c}. Sei $A\in \R^{n \times n}$ eine Matrix, deren Einträge gegeben sind durch
\begin{align*}
A_{jk}
&= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}.
\end{align*}
und sei $A_p$ die $A$ approximierende Matrix gemäß Definition \ref{thm:sem:quad:Ap}. Dann gilt
\begin{align*}
- \norm{A-A_p}_F \leq n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4p\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2p}.
+ \norm{A-A_p}_F \leq n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_{2p+1}^4(p+1)\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{-2(p+1)}.
\end{align*}
\end{sat}
-\begin{beweis} Betrachten wir zunächst die Differenz zwischen $A$ und $A_p$ in einem festen Eintrag $(A-A_p)_{jk}$. Sind $T_j$ und $T_k$ unzulässig ist die Differenz laut Definition $0$. Sind $T_j$ und $T_k$ hingegen zulässig, so gilt nach Satz \ref{thm:sem:quad:V}
-% \begin{align}
-% \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&= \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4p\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2p}
-% \end{align}
+\begin{beweis} Betrachten wir zunächst die Differenz zwischen $A$ und $A_p$ in einem festen Eintrag $(A-A_p)_{jk}$. Sind $T_j$ und $T_k$ unzulässig, ist die Differenz laut Definition $0$. Sind $T_j$ und $T_k$ hingegen zulässig, können wir Satz \ref{thm:sem:quad:V} anwenden. Damit erhalten wir
\begin{align*}
\norm{A-A_p}_F^2 &= \sum_{j,k=1}^n (A_{jk} - (A_p)_{jk})^2\\
- &\leq \sum_{j,k=1}^n \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4p\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2p}\right)^2\\
- &\leq \sum_{j,k=1}^n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4p\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2p}\right)^2\\
- &= n^2 \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4p\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2p}\right)^2.
+ &\leq \sum_{j,k=1}^n \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_{2p+1}^4(p+1)\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{-2(p+1)}\right)^2\\
+ &\leq \sum_{j,k=1}^n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_{2p+1}^4(p+1)\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{-2(p+1)}\right)^2\\
+ &= n^2 \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_{2p+1}^4(p+1)\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{-2(p+1)}\right)^2.
\end{align*}
Durch ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung.
\end{beweis}
-\begin{bem}
- Da die Konstante $C_{\zeta_Q,j,k}$ durch die Netzverfeinerung, aufgrund der Distanz sehr groß werden könnte, untersuchen wir sie noch einmal etwas genauer.
- Die Konstante können wir nach oben durch die Zulässigkeitsbedingung abschätzen.
- \begin{align*}
- C_{\zeta_Q,j,k} & = 2^4 e \frac{c_1 \abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2 dist(T_j,T_k))^s}\left( 1 + \frac{2\zeta_Q}{c_2} \right)\\
- & \leq 2^4 e \frac{c_1 \abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2 \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\})^s} \left( 1 + \frac{2\zeta_Q}{c_2} \right)\\
- & \leq 2^4 e \frac{c_1 \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^4}{(c_2 \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\})^s} \left( 1 + \frac{2\zeta_Q}{c_2} \right)\\
- & = 2^4 e \frac{c_1}{(c_2 \zeta_Q)^s} \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{4-s} \left( 1 + \frac{2\zeta_Q}{c_2} \right)
- \end{align*}
-\end{bem}
-
\noindent
\todo{
\begin{itemize}
projects / bacc.git / commitdiff