\documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{article}
-\usepackage[utf8x]{inputenc}
-\usepackage{amsmath,amssymb,ulsy}
-\usepackage{fullpage}
+\usepackage{template}
-\def\P{\mathbb{P}}
-\def\N{\mathbb{N}}
-\def\R{\mathbb{R}}
-\def\Z{\mathbb{Z}}
-\def\oder{\vee}
-\def\und{\wedge}
+\begin{document}
-\def\kgV{\text{kgV}}
-\def\ggT{\text{ggT}}
-\def\sgn{\text{sgn}}
-%opening
-\title{}
-\author{Peter Schaefer}
+% \thispagestyle{plain}
+% \tableofcontents
-\begin{document}
-\maketitle
-\section*{1.Übung}
-\subsection*{1. Aufgabe}
+\uebung{2}{21. März 2012}
+
+\aufgabe{1}{}
\begin{align}
S_n &= \frac 1 1 + \frac 1 2 + \cdots + \frac 1 n \in \Z\\
n &= 1 ;\\ & \Rightarrow S_1 \in \Z\\
\frac{ \overbrace{\frac a 1 + \frac a 2 + \cdots}^{\text{gerade}} + \overbrace{\frac a {2^k}}^{\text{ungerade}} + \overbrace{\cdots + \frac a n}^{\text{gerade}}} {\underbrace{a}_{\text{gerade}}} = \frac{\text{ungerade}}{\text{gerade}} \Rightarrow S_n \notin \Z,n \in \{2,3,\dots\}
\end{align}
-\subsection*{3. Aufgabe}
+\aufgabe{3}{}
\begin{align}
&\begin{array}{ccccccc}
r_{i-2} & r_{i-1}& q_i & x_{i-2} & x_{i-1} & y_{i-2} & y_{i-1}\\
x & = 5\cdot\binom{-25}{29}+\cdot
\end{align}
-\subsection*{4. Aufgabe}
+\aufgabe{4}{}
\begin{align}
v &= \kgV(a,b) = \frac{|ab|}{\ggT(a,b)}\\
&= a\cdot \frac{\sgn(a) |b|}{\ggT(a,b)} = b\cdot \frac{\sgn(b) |a|}{\ggT(a,b)}\\
\documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{article}
-\usepackage[utf8x]{inputenc}
-\usepackage{amsmath,amssymb,ulsy}
-\usepackage{fullpage}
-\usepackage[ngerman]{babel}
-\usepackage{fixltx2e} %Deutschsprach Bugs
-%\usepackage[T1]{fontenc}
-%\usepackage{lmodern}
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-%\usepackage{ngerman}
+\usepackage{template}
+\begin{document}
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-
-\def\kgV{\text{kgV}}
-\def\ggT{\text{ggT}}
-\def\sgn{\text{sgn}}
-%opening
-\title{}
-\author{}
+% \thispagestyle{plain}
+% \tableofcontents
-\begin{document}
-\maketitle
-\section*{2.Übung}
-\subsection*{7. Aufgabe}
-{\texttt{Man zeige, durch geschicktes Rechnen mit Kongruenzen und unter Berücksichtigung der beiden Darstellungen
+\uebung{2}{25. April 2012}
+\aufgabe{7}{Man zeige, durch geschicktes Rechnen mit Kongruenzen und unter Berücksichtigung der beiden Darstellungen
\begin{equation}\label{darst641}
641=2^{7} \cdot 5 + 1= 5^{4} + 2^{4}
\end{equation}
-von $641$, dass $641$ ein Teiler der Fermatzahl $F_{5}=2^{2^{5}}+1$ ist. }}\\
-Aus der Gleichung \eqref{darst641} erhält man durch Umformen sofort
-\begin{subequations}
+von $641$, dass $641$ ein Teiler der Fermatzahl $F_{5}=2^{2^{5}}+1$ ist. }
+
+ Aus der Gleichung \eqref{darst641} erhält man durch Umformen sofort
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ 2^{7} \cdot 5 \equiv -1 \mod 641 \\
+ \stackrel{\textsl{zur 4. Potenz}} \implies 2^{28}5^{4} \equiv 1 \mod 641 \label{darst1}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ Weiters erhält man durch Umformen in \eqref{darst641}:
+ \begin{equation}\label{darst2}
+ 5^{4} \equiv -2^{4} \mod 641
+ \end{equation}
+ Setzt man nun \eqref{darst2} in \eqref{darst1} ein, so erhält man zunächst
+ \begin{equation}\label{gl1}
+ -2^{4}2^{28} = -2^{32} \equiv 1 \mod 641
+ \end{equation}
+ Unter Beachtung von
+ \begin{equation}\label{gl0}
+ 1-F_{5}=1-\left( 2^{2^{5}}+1 \right) = 1- 2^{32} - 1 = -2^{32}
+ \end{equation}
+ erhält man nun durch Einsetzen der linken Seite von \eqref{gl0} in \eqref{gl1} das Folgende
+ \begin{subequations}
\begin{align}
- 2^{7} \cdot 5 \equiv -1 \mod 641 \\
-\stackrel{\textsl{zur 4. Potenz}} \implies 2^{28}5^{4} \equiv 1 \mod 641 \label{darst1}
+ 1-F_{5} \equiv 1 \mod 641\\
+ \implies -F_{5} \equiv 0 \mod 641\\
+ \implies 641 \mid F_{5}
\end{align}
-\end{subequations}
-Weiters erhält man durch Umformen in \eqref{darst641}:
-\begin{equation}\label{darst2}
- 5^{4} \equiv -2^{4} \mod 641
-\end{equation}
-Setzt man nun \eqref{darst2} in \eqref{darst1} ein, so erhält man zunächst
-\begin{equation}\label{gl1}
- -2^{4}2^{28} = -2^{32} \equiv 1 \mod 641
-\end{equation}
-Unter Beachtung von
-\begin{equation}\label{gl0}
- 1-F_{5}=1-\left( 2^{2^{5}}+1 \right) = 1- 2^{32} - 1 = -2^{32}
-\end{equation}
-erhält man nun durch Einsetzen der linken Seite von \eqref{gl0} in \eqref{gl1} das Folgende
-\begin{subequations}
-\begin{align}
- 1-F_{5} \equiv 1 \mod 641\\
-\implies -F_{5} \equiv 0 \mod 641\\
-\implies 641 \mid F_{5}
-\end{align}
-\end{subequations}
-\subsection*{8. Aufgabe}
-{\texttt{Man löse das folgende System von linearen Kongruenzen
+ \end{subequations}
+\aufgabe{8}
+{Man löse das folgende System von linearen Kongruenzen
\begin{align}
x \equiv 2 \mod 3, x \equiv 3 \mod 5, x \equiv 4 \mod 7
\end{align}
einmal mit Hilfe der Formel aus dem Chinesischen-Restsatz und einmal, indem man die allgemeine Lösung der ersten Konrguenz in die zweite einsetzt, und dann die allgemeine Lösung der ersten zwei Konrguenzen in die dritte.
-}}\\
-System von Gleichungen mit Teilerfremden $m_i$
-\begin{align}
- x & \equiv a_i\mod m_i\\
- x & \equiv 2 \mod 3\\
- x & \equiv 3 \mod 5\\
- x & \equiv 4 \mod 7
-\end{align}
-Sei $M = \prod_i m_i$
-\begin{align}
- x & \equiv u \mod M \\
- x & \equiv u \mod 105
-\end{align}
-Sei nun weiterhin $M_i = M / m_i$, dann können $s_i$ und $r_i$ mittels erweitertem Euklid bestimmt werden
-\begin{align}
-r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i &= 1\\
--12 \cdot 3 + 2 \cdot 35 &= 1\\
--4 \cdot 5 + 1 \cdot 21 &= 1\\
--2 \cdot 7 + 1 \cdot 15 &= 1
-\end{align}
-Eine Lösung ist also
-\begin{align}
- x &= \sum_i a_i \cdot s_i \cdot M_i\\
- x &= 2 \cdot 2 \cdot 35 + 3 \cdot 21 + 4 \cdot 15\\
- x &= 263
-\end{align}
-Alle Lösungen sind also:
-\begin{align}
- x &\equiv u \mod M\\
- 263 &\equiv u \mod 105\\
- x &\equiv 53 \mod 105
-\end{align}
-Lösen durch einsetzen:
-\begin{align}
- x & \equiv 2 \mod 3 &&\Rightarrow x = 3k +2\\
- 3k +2 & \equiv 3 \mod 5 \\
- 3k &\equiv 1 \mod 5&&\Rightarrow k = 5i +2 &&\Rightarrow x = 15i +8\\
- 15i +8 & \equiv 4 \mod 7 \\
- 15i & \equiv 3 \mod 7 &&\Rightarrow i = 7j+3 &&\Rightarrow x = 105j +53
-\end{align}
+}
+ System von Gleichungen mit Teilerfremden $m_i$
+ \begin{align}
+ x & \equiv a_i\mod m_i\\
+ x & \equiv 2 \mod 3\\
+ x & \equiv 3 \mod 5\\
+ x & \equiv 4 \mod 7
+ \end{align}
+ Sei $M = \prod_i m_i$
+ \begin{align}
+ x & \equiv u \mod M \\
+ x & \equiv u \mod 105
+ \end{align}
+ Sei nun weiterhin $M_i = M / m_i$, dann können $s_i$ und $r_i$ mittels erweitertem Euklid bestimmt werden
+ \begin{align}
+ r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i &= 1\\
+ -12 \cdot 3 + 2 \cdot 35 &= 1\\
+ -4 \cdot 5 + 1 \cdot 21 &= 1\\
+ -2 \cdot 7 + 1 \cdot 15 &= 1
+ \end{align}
+ Eine Lösung ist also
+ \begin{align}
+ x &= \sum_i a_i \cdot s_i \cdot M_i\\
+ x &= 2 \cdot 2 \cdot 35 + 3 \cdot 21 + 4 \cdot 15\\
+ x &= 263
+ \end{align}
+ Alle Lösungen sind also:
+ \begin{align}
+ x &\equiv u \mod M\\
+ 263 &\equiv u \mod 105\\
+ x &\equiv 53 \mod 105
+ \end{align}
+ Lösen durch einsetzen:
+ \begin{align}
+ x & \equiv 2 \mod 3 &&\Rightarrow x = 3k +2\\
+ 3k +2 & \equiv 3 \mod 5 \\
+ 3k &\equiv 1 \mod 5&&\Rightarrow k = 5i +2 &&\Rightarrow x = 15i +8\\
+ 15i +8 & \equiv 4 \mod 7 \\
+ 15i & \equiv 3 \mod 7 &&\Rightarrow i = 7j+3 &&\Rightarrow x = 105j +53
+ \end{align}
-\subsection*{9. Aufgabe}
-\texttt{Man bestimme alle Lösungen der Kongruenz $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+5x+6 \equiv 0 \mod 120$ durch Zurückführen auf die entsprechenden Lösungen mod 8, mod 3 und mod 5 und Anwendung des Chinesischen Restsatzes. }\\
+\aufgabe{9}
+{Man bestimme alle Lösungen der Kongruenz $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+5x+6 \equiv 0 \mod 120$ durch Zurückführen auf die entsprechenden Lösungen mod 8, mod 3 und mod 5 und Anwendung des Chinesischen Restsatzes. }
\begin{align}
f(x) &= 2x^3-3x^2+5x+6 \equiv 0 \mod 120
x &= 0 \cdot 40 + 2 \cdot -24 + 3 \cdot -15 & x &= -93 \mod 120 & x &= 27 \mod 120\\
x &= 0 \cdot 40 + 2 \cdot -24 + 6 \cdot -15 & x &= -138 \mod 120 & x &= 102 \mod 120
\end{align}
-\subsection*{10. Aufgabe}
-{\texttt{Man zeige, dass für jedes $n \in \N^{*}$ gilt
+
+
+\aufgabe{10}
+{Man zeige, dass für jedes $n \in \N^{*}$ gilt
\begin{equation}
\sum \limits_{d \mid n} \varphi(d)=n
\end{equation}
-(Hinweis: Klasseneinteilung) }} \\
+(Hinweis: Klasseneinteilung) }
+
Angenommen, man erhält eine Klasseneinteilung $\implies$ dann sind alle Klassen nichtleer und paarweise disjunkt. Kann man nun für jede Klasse zeigen, dass $\vert C_{d} \vert = \varphi(d)$, so ist man fertig. \\
Auf der Menge $N := \lbrace 1,2,3,\ldots, n \rbrace$ definiere eine binäre Relation $\sim$ folgendermaßen:
\begin{equation}
\lbrace d : d \mid n \rbrace = \lbrace \frac{n}{d} : d \mid n \rbrace,
\end{equation}
womit die Summe über die gleichen Indizes gebildet wird.
-\subsection*{11. Aufgabe}
-{\texttt{Sei $p$ eine Primzahl und für jeden positiven Teiler $d$ von $p-1$ sei $A_{d}$ die Menge derjenigen Elemente in $\lbrace 1,2,\ldots, p-1 \rbrace$ mit der Ordnung $d$. Wieviele Elemente hat ein $A_{d}$ unter der Voraussetzung, dass es nichtleer ist? Warum folgt daraus mit Hilfe von Aufgabe $10$, dass keine der Mengen $A_{d}$ leer sein kann, insbesondere also $A_{p-1}$ nicht, d.h. es gibt eine Primitivwurzel mod $p$?}} \\
+\aufgabe{11}
+{Sei $p$ eine Primzahl und für jeden positiven Teiler $d$ von $p-1$ sei $A_{d}$ die Menge derjenigen Elemente in $\lbrace 1,2,\ldots, p-1 \rbrace$ mit der Ordnung $d$. Wieviele Elemente hat ein $A_{d}$ unter der Voraussetzung, dass es nichtleer ist? Warum folgt daraus mit Hilfe von Aufgabe $10$, dass keine der Mengen $A_{d}$ leer sein kann, insbesondere also $A_{p-1}$ nicht, d.h. es gibt eine Primitivwurzel mod $p$?}
+
Es gilt folgende Eigenschaft der Ordnung eines Elements $x$:
Angenommen die Menge $A_{d}$ sei nichtleer, und gelte $\mu \in A_{d}$. Dann hat gilt klarerweise $ord(\mu)=d$, d.h. $\mu$ löst
\begin{equation}\label{poly}
\varphi(d) = \vert A_{d} \vert
\end{equation}
-\subsection*{12. Aufgabe}
-Ansatz von der Tafel:
-\begin{align}
- \varphi(p^eq^f) = (p^e-p^{e-1})(q^f-q^{f-1})
-\end{align}
-Lösgunen für $k=1,2,3,4$:
-\begin{enumerate}
- \item $\Z_1,\Z_2$
- \item $\Z_3, \Z_4, \Z_6$
- \item $\emptyset$
- \item $\Z_5,\Z_8,\Z_{10},\Z_{12}$
-\end{enumerate}
+\aufgabe{12}
+{Man zeige, dass die Gleichung $\varphi(x)=k$ für jede positive ganze Zahl nur endlich viele Lösungen haben kann und bestimme diese explizit für $k=1,2,3,4$. }
-\subsection*{Bsp 12}
-{\texttt{Man zeige, dass die Gleichung $\varphi(x)=k$ für jede positive ganze Zahl nur endlich viele Lösungen haben kann und bestimme diese explizit für $k=1,2,3,4$. }} \newline
Man kann die $\varphi$-Funktion für ein $n = \prod \limits_{p \in \P,\nu_{p}(n) \neq 0} p^{\nu_{p}(n)} \in \N$ folgendermaßen berechnen:
\begin{equation}\label{phifkt}
\varphi(n)=\varphi(\prod \limits_{p \in \P} p^{\nu_{p}(n)})=\prod \limits_{p \in \P,\nu_{p}(n) \neq 0} p^{(\nu_{p}c(n)-1)} \cdot (p-1)
\documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{article}
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-\usepackage{amsmath,amssymb,ulsy}
-\usepackage{fullpage}
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-\usepackage[ngerman]{babel}
-\usepackage{fixltx2e} %Deutschsprach Bugs
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-\pagestyle{fancy}
-\chead{3. Übung ZtuA}
-\rhead{Mi, 9. Mai 2012}
+\usepackage{template}
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-\def\R{\mathbb{R}}
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+\begin{document}
-\def\kgV{\text{kgV}}
-\def\ggT{\text{ggT}}
-\def\sgn{\text{sgn}}
-%opening
-\title{$3$. Übung ZtuA}
-\author{}
+% \thispagestyle{plain}
+% \tableofcontents
-\begin{document}
+\uebung{3}{9. Mai 2012}
-%\section*{$3$. Übung}
-\subsection*{$13$. Aufgabe}
-{\texttt{Man beweise, dass es je unendlich viele Primzahlen der Form a) 4k+3 und b) 4k+1 gibt. (Hinweis: Man verwende dazu jeweils eine geeignete Variante des klassischen Beweises von Euklid über die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen, wobei speziell für den Beweisteil b) der erste Ergänzungssatz benötigt wird.)} \newline
- \begin{enumerate}
- \item[(a)] Angenommen, die Menge aller Primzahlen der Form $4k+3$, d.h. $p_{1}, \ldots, p_{n}$ sind alle. $7 \equiv 3 \mod 4$, daher ist diese Menge nichtleer. Definiere
+\aufgabe{13}{Man beweise, dass es je unendlich viele Primzahlen der Form a) 4k+3 und b) 4k+1 gibt. (Hinweis: Man verwende dazu jeweils eine geeignete Variante des klassischen Beweises von Euklid über die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen, wobei speziell für den Beweisteil b) der erste Ergänzungssatz benötigt wird.)}
+ \begin{enumerate}
+ \item[(a)] Angenommen, die Menge aller Primzahlen der Form $4k+3$, d.h. $p_{1}, \ldots, p_{n}$ sind alle. $7 \equiv 3 \mod 4$, daher ist diese Menge nichtleer. Definiere
+ \begin{equation}
+ m:=4p_{1} \ldots p_{n} - 1 \equiv 3 \mod 4
+ \end{equation}
+ insbesondere ist $m$ ungerade. Nun gilt
+ \begin{equation}
+ \forall i: p_{i} < 2 p_{i} < 3p_{i} - 1 < 4p_{1} \ldots p_{n} - 1
+ \end{equation}
+ Nach dem Fundamentalsatz der Zahlentheorie hat $m$ mindestens einen Primteiler $p$. Dieses $p$ kann nicht von der Form $4k+1$ sein, da sonst der Rest $-1$ bleiben würde. Daher hat $m$ nur Primteiler der Form $4k+1$, woraus folgt, dass $m \equiv 1 \mod 4$ ist, was ein Widerspruch zur Konstruktion von $m$ ist. \newline
+ (Anders: $m \equiv 3 \mod 4$, d.h. m kann nicht nur Primfaktoren der Form $4k+1$ haben, sei $p \equiv 3 \mod 4 \land p \mid m \Rightarrow p \mid 1$. WS!)
+ \item[(b)] Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen der Form $4k+1$, diese seien $p_{1}, \ldots, p_{r}$. $5 \equiv 1 \mod 4$, daher $r\geq 1$. Mit
\begin{equation}
- m:=4p_{1} \ldots p_{n} - 1 \equiv 3 \mod 4
+ \alpha \equiv 1 \mod 4 \land \beta \equiv 1 \mod 4 \Rightarrow \alpha \beta \equiv 1 \mod 4,
\end{equation}
-insbesondere ist $m$ ungerade. Nun gilt
-\begin{equation}
- \forall i: p_{i} < 2 p_{i} < 3p_{i} - 1 < 4p_{1} \ldots p_{n} - 1
-\end{equation}
-Nach dem Fundamentalsatz der Zahlentheorie hat $m$ mindestens einen Primteiler $p$. Dieses $p$ kann nicht von der Form $4k+1$ sein, da sonst der Rest $-1$ bleiben würde. Daher hat $m$ nur Primteiler der Form $4k+1$, woraus folgt, dass $m \equiv 1 \mod 4$ ist, was ein Widerspruch zur Konstruktion von $m$ ist. \newline
-(Anders: $m \equiv 3 \mod 4$, d.h. m kann nicht nur Primfaktoren der Form $4k+1$ haben, sei $p \equiv 3 \mod 4 \land p \mid m \Rightarrow p \mid 1$. WS!)
-\item[(b)] Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen der Form $4k+1$, diese seien $p_{1}, \ldots, p_{r}$. $5 \equiv 1 \mod 4$, daher $r\geq 1$. Mit
+ erhält man für $n$:
\begin{equation}
- \alpha \equiv 1 \mod 4 \land \beta \equiv 1 \mod 4 \Rightarrow \alpha \beta \equiv 1 \mod 4,
+ n:=\left(2p_{1} \cdots p_{r} \right)^{2} +1 = 4 \left( p_{1} \cdots p_{r} \right)^{2} + 1 \Rightarrow n \equiv 1 \mod 4
+ \end{equation}
+ Sei $p \in \P \land p \mid n$ (nach dem Fundamentalsatz der Zahlentheorie):
+ \begin{equation}
+ \forall i \in \lbrace 1 , \ldots, r \rbrace: p \neq p_{i} \textsl{ (da Rest 1 bleibt) }
\end{equation}
-erhält man für $n$:
-\begin{equation}
-n:=\left(2p_{1} \cdots p_{r} \right)^{2} +1 = 4 \left( p_{1} \cdots p_{r} \right)^{2} + 1 \Rightarrow n \equiv 1 \mod 4
-\end{equation}
-Sei $p \in \P \land p \mid n$ (nach dem Fundamentalsatz der Zahlentheorie):
-\begin{equation}
-\forall i \in \lbrace 1 , \ldots, r \rbrace: p \neq p_{i} \textsl{ (da Rest 1 bleibt) }
-\end{equation}
-Insbesondere folgt daraus, dass $p \equiv 3 \mod 4$. Man erhält also die folgende Kongruenz:
-\begin{equation}
-\left( 2p_{1} \cdots p_{r} \right)^{2} \equiv -1 \mod p,
-\end{equation}
-es ist also $-1$ quadratischer Rest $\mod p$. Dies steht nun im Widersrpuch zum 1. Ergänzungssatz.
- \end{enumerate}
+ Insbesondere folgt daraus, dass $p \equiv 3 \mod 4$. Man erhält also die folgende Kongruenz:
+ \begin{equation}
+ \left( 2p_{1} \cdots p_{r} \right)^{2} \equiv -1 \mod p,
+ \end{equation}
+ es ist also $-1$ quadratischer Rest $\mod p$. Dies steht nun im Widersrpuch zum 1. Ergänzungssatz.
+ \end{enumerate}
+
+\aufgabe{14}
+{(``Briefmarkenproblem'') Unter der Annahme, dass man von zwei Briefmarkensorten mit den Werten $a$ und $b$, wobei $a,b>0$ ganz und teilerfremd vorausgesetzt werden, beliebig viele Briefmarken zur Verfügung hat, zeige man, dass ab einer gewissen Schranke $s$ jede ganzzahlige Frankierung damit möglich ist. Was ist die kleinste derartige Schranke? (Hinweis: Man verwende zunächst den Chinesischen Restsatz, um zu zeigen, dass die Menge $S=\lbrace ax+by \mid 0 \leq x < b, 0 \leq y < a \rbrace$ ein volles Restsystem $\mod ab$ ist und betrachte dann die Partition $S=S_{0} \cup S_{1}$ von $S$, wobei $S_{0} = \lbrace x \in S \mid x <ab \rbrace$ und $S_{1} = S \setminus S_{0}$. Welcher Zusammenhang besteht zwischen $S_{0}$ und $S_{1}$?)}
-\newpage
-\subsection*{$14$. Aufgabe}
-{\texttt{(``Briefmarkenproblem'') Unter der Annahme, dass man von zwei Briefmarkensorten mit den Werten $a$ und $b$, wobei $a,b>0$ ganz und teilerfremd vorausgesetzt werden, beliebig viele Briefmarken zur Verfügung hat, zeige man, dass ab einer gewissen Schranke $s$ jede ganzzahlige Frankierung damit möglich ist. Was ist die kleinste derartige Schranke? (Hinweis: Man verwende zunächst den Chinesischen Restsatz, um zu zeigen, dass die Menge $S=\lbrace ax+by \mid 0 \leq x < b, 0 \leq y < a \rbrace$ ein volles Restsystem $\mod ab$ ist und betrachte dann die Partition $S=S_{0} \cup S_{1}$ von $S$, wobei $S_{0} = \lbrace x \in S \mid x <ab \rbrace$ und $S_{1} = S \setminus S_{0}$. Welcher Zusammenhang besteht zwischen $S_{0}$ und $S_{1}$?)}} \newline
Gilt $a = 1 \vee b = 1$ so ist die Aufgabe trivial, daher sei im Folgenden $a \neq 1 \land b \neq 1$, und oBdA $a < b$. \newline
Aus $\gcd(a,b)=1$ erhält man zunächst $\Z_{ab} \cong \Z_{a} \times \Z_{b}$. Sei
\begin{equation}
Klarerweise sind $S_{0}$ und $S_{1}$ disjunkt. Aus $0 \in S_{0}$, bzw $(b-1,1) \cong a(b-1)+b = ab-a+b>ab$ folgt, dass $S_{0} \neq \emptyset, S_{1} \neq \emptyset$.
Sei nun $n \in \N \implies \exists k \in \N: n = k \cdot (ab) + r \land 0 \leq r < ab$. Ist $k \geq 1$, so kann man n sicher mit Hilfe des vollen Restsystems und der Abschätzung \eqref{abschS} darstellen. Die größte nicht darstellbare Zahl $\mod ab$ ist $2ab-a-b-1 \Rightarrow s = (a-1)(b-1)$.
-\newpage
-\subsection*{$15$. Aufgabe}
-{\texttt{Man zeige: Ist $p \in \P$ der Form $4k+3 \Rightarrow x^{2} \equiv -1 \mod p$ ist sicher nicht lösbar, ist $p$ der Form $4k+1$, so ist $x_{0} := \left( \frac{p-1}{2} \right)! \mod p$ eine Lösung. (Hinweis: Für den ersten Teil Primitivwurzel $\mod p$, und über Potenzen von g argumierentieren. Für den zweiten Teil zeige zunächst $x_{0}^{2} \equiv (p-1)! \mod p$ und zeige dann $(p-1)! \equiv -1 \mod p$). }} \newline
+\aufgabe{15}
+{Man zeige: Ist $p \in \P$ der Form $4k+3 \Rightarrow x^{2} \equiv -1 \mod p$ ist sicher nicht lösbar, ist $p$ der Form $4k+1$, so ist $x_{0} := \left( \frac{p-1}{2} \right)! \mod p$ eine Lösung. (Hinweis: Für den ersten Teil Primitivwurzel $\mod p$, und über Potenzen von g argumierentieren. Für den zweiten Teil zeige zunächst $x_{0}^{2} \equiv (p-1)! \mod p$ und zeige dann $(p-1)! \equiv -1 \mod p$). }
+
Sei $p \in \P$ und $p \equiv 3 \mod 4$. Nach dem Satz von Gauß existiert eine Primitivwurzel $ g \mod p$.
Weiters hat das Polynom $x^{2} - 1 = 0$ genau zwei verschiedene Lösungen in $\Z_{p}$, nämlich $\pm 1$. Nun gilt
\begin{equation}
\end{align}
\end{subequations}
-\newpage
-\subsection*{$16$. Aufgabe}
-{\texttt{Man berechne die Legendresymbole (700/769) und (1215/1381) zuerst ohne und dann mit Verwendung von Jacobisymbolen.}} \newline
+\aufgabe{16}
+{Man berechne die Legendresymbole (700/769) und (1215/1381) zuerst ohne und dann mit Verwendung von Jacobisymbolen.}
+
Zuest ist Folgendes zu überprüfen, um von Legendre- bzw Jacobisymbolen sprechen zu können:
-\begin{maxima}
-primep(769);
-primep(1381);
-\maximaoutput*
-\m \mathbf{true} \\
-\m \mathbf{true} \\
-\end{maxima}
+% \begin{maxima}
+% primep(769);
+% primep(1381);
+% \maximaoutput*
+% \m \mathbf{true} \\
+% \m \mathbf{true} \\
+% \end{maxima}
Mit Legendresymbol:
\begin{subequations}
\begin{align}
\end{align}
\end{subequations}
-\newpage
-\subsection*{$17$. Aufgabe}
-{\texttt{Man bestimme alle ungeraden Primzahlen $p$, für welche $10$ quadratischer Rest ist.}} \newline
+
+\aufgabe{17}
+{Man bestimme alle ungeraden Primzahlen $p$, für welche $10$ quadratischer Rest ist.}
+
Aus $10 = 2 \cdot 5$ erhält man aus Satz 3.2, (4):
\begin{equation}\label{starkeMultLegendre}
\left( \frac{10}{p} \right) = \left( \frac{2}{p} \right) \cdot \left( \frac{5}{p} \right)
Daher muss notwendigerweise gelten: $p \equiv \pm 1 \mod 5$.
Zusammen erhält man also, dass aus $p \equiv \pm 1 \mod 8 \land p \equiv \pm 1 \mod 5$ folgt, dass $\left( \frac{10}{p} \right) = 1$. Man erhält mit dem Chinesischen Restsatz folgendes System:
\begin{subequations}
-\begin{cases} p \equiv \pm 1 \mod 40 \\ p \equiv \pm 9 \mod 40 \end{cases}
+\begin{align}
+ \begin{cases}
+p \equiv \pm 1 \mod 40 \\ p \equiv \pm 9 \mod 40
+\end{cases}
+\end{align}
\end{subequations}
\item Seien beide Faktoren gleich $-1$. Daher ist $p \equiv \pm 3 \mod 8 \land \left( p \equiv \pm 2 \mod 5 \right)$. Man erhält daher mit dem Chinesischen Restsatz:
\begin{subequations}
-\begin{cases} p \equiv \pm 3 \mod 40 \\ p \equiv \pm 13 \mod 40 \end{cases}
+\begin{align}
+ \begin{cases} p \equiv \pm 3 \mod 40 \\ p \equiv \pm 13 \mod 40 \end{cases}
+ \end{align}
\end{subequations}
\end{itemize}
Weiters beachte man $\varphi(40)=\varphi(5 \cdot 8 )=4 \cdot 4 = 16$.
-\newpage
-\subsection*{$18$. Aufgabe}
-{\texttt{Man zeige: Ist $p$ eine Primzahl, sodass auch $q=2p+1$ prim ist, so teilt $q$ entweder $2^{p}-1$ oder $2^{p}+1$ und zwar in Abhängigkeit davon, ob $2$ quadratischer Rest $\mod q$ ist oder nicht. (Für welche Mersenn'sche Zahlen $2^{p}-1$ mit $p<100$ sieht man so sofort, dass sie zusammengesetzt sind?).}} \newline
+
+\aufgabe{18}{Man zeige: Ist $p$ eine Primzahl, sodass auch $q=2p+1$ prim ist, so teilt $q$ entweder $2^{p}-1$ oder $2^{p}+1$ und zwar in Abhängigkeit davon, ob $2$ quadratischer Rest $\mod q$ ist oder nicht. (Für welche Mersenn'sche Zahlen $2^{p}-1$ mit $p<100$ sieht man so sofort, dass sie zusammengesetzt sind?).}
+
\begin{enumerate}
\item Sei $\left( \frac{2}{q} \right) = 1$, d.h. sei $2$ quadratischer Rest $\mod q$. Daher
\begin{equation}
\underbrace{2^{\frac{q-1}{2}}}_{\equiv -1 \mod q } +1 \equiv -1 + 1 \equiv 0 \mod q \Rightarrow q \mid 2^{p}+1
\end{equation}
\end{enumerate}
-\begin{maxima}
-for p:3 thru 97 step 1 do if primep(p) and primep(2*p+1) and power_mod(2,(p-1)/2,p) = 1 then ldisplay(p);
-for i in [23,41,89] do ldisplay(primep(2^i-1));
-618970019642690137449562111-341550071728321;
-\maximaoutput*
-\t9. p=23 \\
-\t10. p=41 \\
-\t11. p=89 \\
-\m \mathbf{done} \\
-\t12. \mathrm{primep}\left(8388607\right)=\mathbf{false} \\
-\t13. \mathrm{primep}\left(2199023255551\right)=\mathbf{false} \\
-\t14. \mathrm{primep}\left(618970019642690137449562111\right)=\mathbf{true} \\
-\m \mathbf{done} \\
-\m 618970019642348587377833790 \\
-\end{maxima}
+% \begin{maxima}
+% for p:3 thru 97 step 1 do if primep(p) and primep(2*p+1) and power_mod(2,(p-1)/2,p) = 1 then ldisplay(p);
+% for i in [23,41,89] do ldisplay(primep(2^i-1));
+% 618970019642690137449562111-341550071728321;
+% \maximaoutput*
+% \t9. p=23 \\
+% \t10. p=41 \\
+% \t11. p=89 \\
+% \m \mathbf{done} \\
+% \t12. \mathrm{primep}\left(8388607\right)=\mathbf{false} \\
+% \t13. \mathrm{primep}\left(2199023255551\right)=\mathbf{false} \\
+% \t14. \mathrm{primep}\left(618970019642690137449562111\right)=\mathbf{true} \\
+% \m \mathbf{done} \\
+% \m 618970019642348587377833790 \\
+% \end{maxima}
\end{document}
+
--- /dev/null
+\documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{article}
+
+\usepackage{template}
+
+\begin{document}
+
+% \thispagestyle{plain}
+% \tableofcontents
+
+\uebung{4}{23. Mai 2012}
+
+\aufgabe{19}
+{Man zeige, dass sich jede positive ganze $n$ auf {\bf genau eine} Weise als Summe
+\begin{align}
+ n = \sum_{k=0}^m n_k 2^k \text{ mit } n_k \in \{-1,0,1\}
+\end{align}
+schreiben läßt, sodass gilt $n_m = 1$ und $n_{k −1} n_k = 0$ für $k=1,2,..,m$ (genannt die NAF- Dar-
+stellung von n, von engl. nonadjacent form).
+}
+
+\aufgabe{20}
+{}
+
+\end{document}
+
+
projects / zahlenTA.git / commitdiff