\end{align}
wobei $\varDelta u := \partial_x^2u+\partial_y^2u+\partial_z^2u$ den Laplace-Operator bezeichnet und $\Omega$ eine beschränkte Teilmenge von $\R^3$ mit Lipschitz-Rand ist.
-% \begin{align}
-% V \phi := \frac 1 {4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac {1}{\abs{\bs x - \bs y}} \phi(\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
-% \end{align}
-
-% \subsection{MAYR}
-% Sei $\tilde V$ gegeben durch
-% \begin{align}
-% \tilde V \phi = \frac 1 {4\pi} \int_{T_j}\int_{T_k} \frac 1 {\abs{\bs x -\bs y}} \phi(\bs y) ds_{\bs x}ds_{\bs y}
-% \end{align}
-% und bezeichne $\gamma_0 \in L(H^1(\Omega)),H^{1/2}(\Gamma))$ den Spuroperator, der einer $C^{\infty}(\Omega)$-Funktion eine Funktion zuordnet sodass
-% \begin{align}
-% \gamma_0 u = u|_{\Gamma}.
-% \end{align}
-% Gemäß \todo{ref} gilt mit diesen Bezeichnungen
-% \begin{align}
-% -\varDelta \tilde V \phi = 0 \quad \text{für alle }\phi \in H^{1/2}(\Gamma).
-% \end{align}
-% Wir machen nun den sogenannten indirekten Ansat $u = \tilde V\phi$. Wegen \todo{$(4)$} ist die Laplace-Gleichung erfüllt und es gilt
-% \begin{align}
-% V\phi=g,
-% \end{align}
-% wobei $V := \gamma_0\tilde V \in L(H^{-1/2}(\Gamma),H^{1/2}(\Gamma))$. Ziel ist es nun aus \todo{$(5)$} eine Funktion $\phi$ zu bestimmen, die die obige Gleichung erfüllt, denn dann ist $\tilde V\phi$ die Lösung des Problems.
\subsection{Galerkin-Verfahren}
Die Fundamentallösung des Laplaceoperators \cite[Kapitel 5.1]{stb:fem} ist für $\Omega \subset \R^3$ gegeben durch
\end{align}
-% \subsection{old Galerkin}
-% Wir wissen, dass die Laplace-Gleichung erfüllt wird durch:
-% \begin{align}
-% V\phi &= g \label{Formel}
-% \end{align}
-% % $\abs{u(x)} = O(\abs{x}^{-1}) \nonumber$
-% Sei nun die $G$ Fundamentallösung,
-% \begin{align}
-% G(\bs z) := \frac 1 {4 \pi} \frac 1 {\abs{\bs z}}
-% \end{align}
-% dann können wir $\tilde V$ anschreiben durch
-% \begin{align}
-% \tilde V \phi (\bs x) &:= \int G (\bs x- \bs y) \phi(\bs y) d\bs y & \bs x\in \R^3\backslash \Gamma
-% \end{align}
-% Daraus folgt nun mit $\gamma_0 = \rm{spur}$ :
-% \begin{align}
-% V \phi &: \gamma_0 \tilde V \phi_0
-% \end{align}
-% Weiterhin kann man nun Zeigen, dass:
-% \begin{align}
-% V : H^{-1/2+s}(\Gamma) &\rightarrow H^{1/2+s}(\Gamma)& \text{mit } s\in [-1/2,1/2]
-% \end{align}
-% \begin{lem}[Lax-Milgram]
-% Sei eine Abbildung $a: X\times X \rightarrow \R$ wobei $X$ ein reflexiver Banachraum. Und gilt:
-% \begin{itemize}
-% \item $a$ stetig, d.h. : $\abs{a(x,y)} \leq C \cdot \norm{x} \cdot \norm{y}$
-% \item $a$ eliptisch, d.h. : $a(x,x) \geq X \cdot \norm{x}^2$
-% \end{itemize}
-% So folgt daraus
-% $\forall f \in X'$ $\exists $ eindeutiges $x \in X$ mit $a(x,\cdot) = f$.
-% \end{lem}
-% \begin{defi}
-% Sei $\langle \cdot, \cdot \rangle$ das erweiterte $L_2$ - Skalarprodukt
-% \end{defi}
-% Wendet man nun das Lax-Milgram Lemma auf die schwache Formulierung an,
-% \begin{align}
-% \langle V \phi, \psi\rangle &= \langle f,\psi\rangle & \psi \in H^{-1/2}\\
-% a(\phi,\psi) &:= \langle V\phi,\psi\rangle&:H^{-1/2}(\Gamma)\times H^{-1/2}(\Gamma) \rightarrow \R
-% \end{align}
-% zeigen wir noch, dass:
-% \begin{itemize}
-% \item $H^{-1/2}(\Gamma)$ ist reflexiver Banachraum, welches aus der Definition von $H^{-1/2}$ folgt
-% \item $ \abs{\langle V\phi,\psi \rangle} \leq C \cdot \norm{\phi}_{H^{-1/2}} \cdot \norm{\psi}_{H^{-1/2}}$
-% \item $ \langle V\phi,\phi \rangle \geq C \cdot \norm{\phi}_{H^{-1/2}}^2$
-% \end{itemize}
-% Daraus folgt nun dass, $\forall f \in H^{-1/2}$ $\exists$ eindeutige Lösung $\phi \in H^{-1/2}(\Gamma)$ von
-% \begin{align}
-% \langle V \phi, \psi \rangle &=\langle f, \psi \rangle & \forall \psi \in H^{-1/2}(\Gamma)
-% \end{align}
-% Wollen wir nun das Galerkin-Verfahren anwenden benötigen wir die schwache Formulierung:
-% \begin{align}
-% \int_{\Gamma} V \phi(x) \cdot \psi(x) dx &= \int_{\Gamma} f(x)\cdot\psi(x) dx
-% \end{align}
-% Nun wählen wir einen endlich-dimensionalen Teilraum $P^0(\T_n) \subseteq H^{-1/2}$ und betrachten
-%
-% \begin{defi}\label{1}
-% \begin{align}
-% \llangle \phi_{\ell},\psi_{\ell} \rrangle & = \langle f,\psi_{\ell} \rangle\quad\text{für alle } \psi_{\ell} \in P^0(\T_{\ell})
-% \end{align}
-% \end{defi}
-% Gesucht ist jetzt also $\phi_{\ell} \in P^0(\T_{\ell})$
-%
-% \noindent
-% Aus dem Max-Milgram Lemma und $X = P^0(\T_{\ell})$ folgt wiederum, es $\exists$ eindeutige Lösung $\phi_{\ell} \in P^0(\T_{\ell})$, da $\psi_{\ell} \in P^0(\T_{\ell}),\phi_{\ell} \in P^0(\T_{\ell})$.
-% \begin{defi}
-% Sei nun die Basis von $P^0(\T_{\ell})$ die charakteristischen Funktionen
-% \begin{align}
-% \{\chi_T | T\in\T_{\ell}\} &= \{\chi_{T_1},\chi_{T_2},\dots\}
-% \end{align}
-% \end{defi}
-% So können wir mit $N = \dim P^0(\T_{\ell})$ und $\psi_{\ell},\phi_{\ell}\in\R$ wobei $l\in \{1\dots N\}$ schreiben
-% \begin{align}
-% \psi_{\ell} &= \sum_{l=1}^N \psi_{\ell} \cdot \chi_{T_{\ell}} \\
-% \phi_{\ell} &= \sum_{l=1}^N \phi_{\ell} \cdot \chi_{T_{\ell}}
-% \end{align}
-% Dadurch können wir Definition \ref{1} nun einfacher Lösen durch:
-% \begin{align}
-% \langle V \phi_{\ell},\chi_k\rangle & = \langle f, \chi_k \rangle & k = 1\dots N
-% \end{align}
-% Aufgrund der Linearität von $V$ und dem Skalarprodukt schreiben wir:
-% \begin{align}
-% \sum_{l=1}^N\langle V\phi_{\ell}\chi_{\ell},\chi_k\rangle & = \langle f,\chi_k\rangle
-% \end{align}
-% welches sich wiederum so schreiben lässt
-% \begin{defi}[Galerkinapproximation]
-% \begin{align}
-% \ul{\ul{V}} \cdot \ul{\phi} = \ul{f}
-% \end{align}
-% wobei $\ul{\ul{V}}\in R^{N \times N},\ul{\phi}\in\R^{N \times 1},\ul{f}\in\R^{N \times 1}$
-% \begin{align}
-% \ul{\ul{V}}_{\ell,k} &= \langle V \chi_{\ell}, \chi_k \rangle\\
-% \ul{\phi}_{\ell} &= \phi_{\ell} \nonumber\\
-% \ul{f}_k &= \langle f, \chi_k\rangle \nonumber
-% \end{align}
-% Damit ist $\phi_{\ell}$ die Galerkinapproximation an $\phi$
-% \end{defi}
-
-
-% \subsection{Vorkonditionieren}
-% \begin{align}
-% V \hat \phi_{\ell} &= b\\
-% D &= diag(V)\\
-% A &= D \cdot V \cdot D\\
-% c & = D\cdot b\\
-% A\cdot y &= c\\
-% \hat \phi_{\ell} &= D \cdot y\\
-% \end{align}
-
\subsection{Netze} \label{sec:bem:net}
Für die Diskretisierung des Problems wollen wir nun einige Begriffe definieren. Zunächst wollen wir ein achsenorientiertes Rechteck beschreiben, dessen Seiten parallel zu den Achsen des kartesischen Koordinatensystems liegen.
Weiterhin kann die Berechnung durch Quadratur abhängig vom gewählten Quadraturgrad sehr aufwändig werden, welches auf die hohe Anzahl der Auswertungsstellen zurückzuführen ist. Für die Quadratur über beispielsweise zwei Integrale mit einem Quadraturgrad von 8 werden dann schon $8^2 = 64$ Auswertungen benötigt, über vier Integrale hingegen schon $8^4 = 4096$. Deshalb werden wir nicht nur die Strategie betrachten, in der für alle zulässigen Randelemente alle Integrale durch Quadratur ersetzt werden, sondern auch eine, in der nur ein Teil der auftretenden Integrale geeignet durch Gauss-Quadratur ersetzt wird.
\end{bem}
-
-%
-%
-% \subsection{Quadratur über eine Seite}
-%
-% \begin{defi} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ achsenorientierte Rechtecke und sei $\zeta_S > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_S$-zulässig, genau dann wenn
-% \begin{align}\label{math:sem:zetaS}
-% \dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_S \min\{ \diam_{\bs a}(T_j) , \diam_{\bs a}(T_k)\}.
-% \end{align}
-% Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_S$-unzulässig.
-% \end{defi}
-%
-%
-% \begin{sat} \label{thm:sem:pol:S} Seien $T_j,T_k \subseteq \R^3$ zwei $\zeta_S$-zulässige Rechtecke mit $\diam_{\bs a}(T_j) \leq \diam_{\bs a}(T_k)$. Sei $\kappa(\cdot,\cdot)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
-% \begin{align*}
-% C_{\zeta_S,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{1}{c_2\zeta_S} \right)
-% \end{align*}
-% die Abschätzung
-% \begin{align*}
-% \sup_{x_2 \in [0,1]\atop\bs y \in T_k}\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\bs y)&-\I_p\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\bs y)}_{\infty,[0,1]}
-% \leq C_{\zeta_S,j,k}\Lambda_p (p+1)\left(1+2 c_2\zeta_S\right)^{-(p+1)}.
-% \end{align*}
-% \end{sat}
-%
-%
-% \begin{beweis} Zunächst definieren wir die Konstanten
-% \begin{align*}
-% C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{1}{c_2\zeta_S}
-% \end{align*}
-% und können dann die Konstante $C_{\zeta_S,j,k}$ kurz
-% \begin{align*}
-% C_{\zeta_S,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\rho_{\kappa})
-% \end{align*}
-% schreiben.\\
-% Sei $\bs y \in T_k$ und $x_2 \in [0,1]$ fest gewählt. Sei weiterhin $\gamma_j$ die Parametrisierung zu $T_j$ aus Definition \ref{thm:def:T}. So gilt mithilfe von Lemma \ref{thm:sem:kett}
-% \begin{align*}
-% \Abs{\partial_\lambda^{\alpha}\kappa(\gamma_j(\lambda,x_2),\bs y)}
-% &= \diam_{\bs a}(T_j)^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda,x_2),\bs y)},
-% \end{align*}
-% mit Multiindex $\alpha = (\alpha_1, 0, 0, 0)$, wobei $\alpha_1>0$ sei.
-% Ferner gilt mit Definition \ref{thm:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
-% \begin{align*}
-% \diam_{\bs a}(T_j)^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda,x_2),\bs y)}
-% \leq& \diam_{\bs a}(T_j)^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(\lambda,x_2) - \bs y})^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
-% \leq& \diam_{\bs a}(T_j)^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \dist(T_j,T_k))^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
-% =& \frac{c_1}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\diam_{\bs a}(T_j)}{c_2 \dist(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
-% \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
-% \end{align*}
-% wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ und $\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4) \in T_k$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt abschließend die Abschätzung
-% \begin{align*}
-% \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\bs y)&-\I_p\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\bs y)}_{\infty,[0,1]}\\
-% &\leq C_{\kappa} 8e(1+\rho_{\kappa})\Lambda_p(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
-% &= C_{\zeta_S,j,k}\Lambda_p(p+1)\left(1+2 c_2\zeta_S\right)^{-(p+1)}.
-% \end{align*}
-% \end{beweis}
-%
-%
-%
-% \begin{sat}\label{thm:sem:quad:S}
-% Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_S$-zulässige Rechtecke, wobei $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ sei , mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
-% \begin{align}
-% \tilde C_{\zeta_S,j,k}&:=2^3e\frac{c_1\abs{T_j}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{1}{c_2\zeta_S} \right)
-% \end{align}
-% Dann gilt für das Integral
-% \begin{align}
-% A_{jk}
-% &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
-% &= \abs{T_j}
-% \int_0^1 \int_0^1 \int_{T_k} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\bs y) d{\bs y} d{\lambda_2} d{ \lambda_1}
-% \end{align}
-% und für den durch die Gauss-Quadratur von $A_{jk}$ zum Grad $p$ entstehenden Term
-% \begin{align*}
-% (A_p)_{jk}&=\abs{T_j}\sum_{a=0}^p w_a \int_0^1 \int_{T_k} \kappa(\gamma_j( \lambda_{a},\lambda_{2}),\bs y)) d{\bs y} d{\lambda_2}
-% \end{align*}
-% die Abschätzung
-% \begin{align}
-% \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&\leq \tilde C_{\zeta_S,j,k}\Lambda_{2p+1} 2(p+1)\left(1+ 2 c_2\zeta_S\right)^{-2(p+1)}
-% \end{align}
-% \end{sat}
-%
-%
-% \begin{beweis}Wir wissen aus \cite[Korollar 6.38]{pla:nummat}, dass die Gauss-Quadratur interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist, unter Berücksichtigung, der hier verwendeten Indizierung beginnend mit 0 statt 1. Deshalb gilt
-% \begin{align*}
-% (A_p)_{jk}
-% &=\abs{T_j}\sum_{a=0}^p w_a \int_0^1 \int_{T_k} \kappa(\gamma_j( \lambda_{a},\lambda_{2}),\bs y)) d{\bs y} d{\lambda_2}\\
-% &=\abs{T_j}\int_0^1 \int_0^1 \int_{T_k} \I_{2p+1} \kappa(\gamma_j( \lambda_{1},\lambda_{2}),\bs y)) d{\bs y} d{\lambda_2} d{\lambda_1},
-% \end{align*}
-% wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ bezeichnet. Wegen der Additivität des Integrals und durch Hineinziehen des Betrags erhält man mit $\bs \lambda = (\lambda_1,\lambda_2)$
-% \begin{align*}
-% \abs{A_{jk} -& (A_p)_{jk}}\\
-% &=\abs{T_j} \Big|\int_{[0,1]^2}\int_{T_k}\kappa(\gamma_j(\bs \lambda),\bs y) d{\bs y} d{\bs \lambda} \quad- \int_{[0,1]^2}\int_{T_k} \I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(\bs \lambda),\bs y) d{\bs y} d{\bs \lambda}\Big|\\
-% &\leq \abs{T_j}\Big|\int_{[0,1]^2}\int_{T_k}\kappa(\gamma_j(\bs \lambda),\bs y) d{\bs y} d{\bs \lambda} \quad- \int_{[0,1]^2}\int_{T_k} \I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(\bs \lambda),\bs y) d{\bs y} d{\bs \lambda}\Big|\\
-% &\leq \abs{T_j} \sup_{\lambda_2 \in [0,1] \atop \bs y \in T_k} \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,\lambda_2),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_j(\cdot,\lambda_2),\bs y)}_{\infty,[0,1]}
-% \end{align*}
-% Mithilfe von Satz \ref{thm:sem:pol:S} für den Grad $2p+1$ erhalten wir die Behauptung
-% \begin{align*}
-% \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}
-% &\leq \abs{T_j}C_{\zeta_S,j,k}\Lambda_{2p+1} 2(p+1)\left(1+2c_2\zeta_S\right)^{-2(p+1)}\\
-% &= \tilde C_{\zeta_S,j,k}\Lambda_{2p+1} 2(p+1)\left(1+2c_2\zeta_S\right)^{-2(p+1)}.
-% \end{align*}
-% \end{beweis}
-%
-% \begin{bem}
-% Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_S$ zulässige Rechtecke. Ist $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ so kann Satz (\ref{thm:sem:quad:S}) angewendet werden um $A_{jk}$ zu approximieren. Im Fall $\diam(T_j) > \diam(T_k)$ können wir, da für $\zeta_S$-zulässige Elemente auch $\dist(T_j,T_k)>0$ gilt, $A_{jk}$ approximieren indem wir mithilfe von $A_{jk} = A_{kj}$ und Satz (\ref{thm:sem:quad:S}), $A_{kj}$ berechnen.
-% \end{bem}
-%
-%
-% \subsection{Quadratur über eine Achse}
-%
-% \begin{defi} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ achsenorientierte Rechtecke mit $\diam_{\bs a}(T_i) \leq \diam_{\bs b}(T_i)$, $i \in \{j,k\}$ und sei $\zeta_A > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-zulässig, genau dann wenn
-% \begin{align}\label{math:sem:zetaA}
-% \dist(T_j, T_k)&\geq \zeta_A \max\{ \diam_{\bs a}(T_j) , \diam_{\bs a}(T_k)\}.
-% \end{align}
-% Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-unzulässig.
-% \end{defi}
-%
-%
-% \begin{sat} \label{thm:sem:pol:A} Seien $T_j,T_k \subseteq \R^3$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke mit $\diam_{\bs a}(T_i) \leq \diam_{\bs b}(T_i)$, wobei $i \in \{j,k\}$. Sei $\kappa(\cdot,\cdot)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
-% \begin{align*}
-% C_{\zeta_A,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\sqrt 2}{c_2\zeta_A} \right)
-% \end{align*}
-% die Abschätzung
-% \begin{align*}
-% &\sup_{x_2,y_2 \in [0,1]}\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\gamma_k(\cdot,y_2))-\I_p^2\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\gamma_k(\cdot,y_2))}_{\infty,[0,1]^2}\\
-% &\leq C_{\zeta_A,j,k}\Lambda_p^2 (p+1)\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_A\right)^{-(p+1)}.
-% \end{align*}
-% \end{sat}
-%
-%
-% \begin{beweis} Zunächst definieren wir die Konstanten
-% \begin{align*}
-% C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{1}{c_2\zeta_A}
-% \end{align*}
-% und können dann die Konstante $C_{\zeta_A,j,k}$ kurz
-% \begin{align*}
-% C_{\zeta_A,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\sqrt 2\rho_{\kappa})
-% \end{align*}
-% schreiben.\\
-% Sei $x_2,y_2 \in [0,1]$ fest gewählt. Seien weiterhin $\gamma_j,\gamma_k$ die Parametrisierungen zu $T_j$ und $T_k$ aus Definition \ref{thm:def:T}. So gilt mithilfe von Lemma \ref{thm:sem:kett}
-% \begin{align*}
-% |\partial_\lambda^{\alpha}\kappa(\gamma_j(\lambda_1,x_2),&\gamma_k(\lambda_3,y_2))|\\
-% &= \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha_1}\diam_{\bs a}(T_k)^{\alpha_3}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,x_2),\gamma_k(\lambda_3,y_2))},\\
-% &\leq \max\{\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,x_2),\gamma_k(\lambda_3,y_2))},
-% \end{align*}
-% mit Multiindex $\alpha = (\alpha_1, 0, \alpha_3, 0)$, wobei $\abs{\alpha}>0$ sei.
-% Ferner gilt mit Definition \ref{thm:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
-% \begin{align*}
-% \max\{\diam_{\bs a}(T_j),&\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,x_2),\gamma_k(\lambda_3,y_2))}\\
-% \leq& \max\{\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(\lambda_1,x_2) - \gamma_k(\lambda_3,y_2)})^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
-% \leq & \max\{\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \dist(T_j,T_k))^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
-% = & \frac{c_1}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\max\{\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}}{c_2 \dist(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
-% \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
-% \end{align*}
-% wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt abschließend die Abschätzung
-% \begin{align*}
-% &\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\gamma_k(\cdot,y_2))-\I_p^2\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\gamma_k(\cdot,y_2))}_{\infty,[0,1]^2}\\
-% &\leq C_{\kappa} 8e(1+\sqrt 2 \rho_{\kappa})\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\frac{\sqrt 2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
-% &= C_{\zeta_A,j,k}\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_A\right)^{-(p+1)}.
-% \end{align*}
-% \end{beweis}
-%
-%
-% \subsection{Quadratur über drei Seiten}
-%
-% \begin{defi} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ achsenorientierte Rechtecke mit $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ und $\diam_{\bs a}(T_k) \leq \diam_{\bs b}(T_k)$. Sei $\zeta_D > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_D$-zulässig, genau dann wenn
-% \begin{align}\label{math:sem:zetaD}
-% \dist(T_j, T_k)&\geq \zeta_D \max\{\diam(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}.
-% \end{align}
-% Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_D$-unzulässig.
-% \end{defi}
-%
-%
-% \begin{sat} \label{thm:sem:pol:D} Seien $T_j,T_k \subseteq \R^3$ zwei $\zeta_D$-zulässige Rechtecke mit $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ und $\diam_{\bs a}(T_k) \leq \diam_{\bs b}(T_k)$. Sei $\kappa(\cdot,\cdot)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
-% \begin{align*}
-% C_{\zeta_D,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\sqrt 3}{c_2\zeta_D} \right)
-% \end{align*}
-% die Abschätzung
-% \begin{align*}
-% &\sup_{y_2 \in [0,1]}\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot,y_2))-\I_p^3\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot,y_2))}_{\infty,[0,1]^3}\\
-% &\leq C_{\zeta_D,j,k}\Lambda_p^3(p+1)\left(1+\frac {2c_2\zeta_D} {\sqrt 3} \right)^{-(p+1)}.
-% \end{align*}
-% \end{sat}
-%
-%
-% \begin{beweis} Zunächst definieren wir die Konstanten
-% \begin{align*}
-% C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{1}{c_2\zeta_D}
-% \end{align*}
-% und können dann die Konstante $C_{\zeta_D,j,k}$ kurz
-% \begin{align*}
-% C_{\zeta_D,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\sqrt 3\rho_{\kappa})
-% \end{align*}
-% schreiben.\\
-% Sei $y_2 \in [0,1]$ fest gewählt. Seien weiterhin $\gamma_j,\gamma_k$ die Parametrisierungen zu $T_j$ und $T_k$ aus Definition \ref{thm:def:T}. So gilt mithilfe von Lemma \ref{thm:sem:kett}
-% \begin{align*}
-% |\partial_\lambda^{\alpha}\kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),&\gamma_k(\lambda_3,y_2))|\\
-% &= \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha_1}\diam_{\bs b}(T_j)^{\alpha_2}\diam_{\bs a}(T_k)^{\alpha_3}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,y_2))},\\
-% &\leq \max\{\diam(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,y_2))},
-% \end{align*}
-% mit Multiindex $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, 0)$, wobei $\abs{\alpha}>0$ sei.
-% Ferner gilt mit Definition \ref{thm:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
-% \begin{align*}
-% \max\{\diam(T_j)&,\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}}\Abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa(\gamma_j(\lambda_1,x_2),\gamma_k(\lambda_3,y_2))}\\
-% \leq& \max\{\diam(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(\lambda_1,x_2) - \gamma_k(\lambda_3,y_2)})^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
-% \leq & \max\{\diam(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}^{\abs{\alpha}} c_1 (c_2 \dist(T_j,T_k))^{-(\abs{\alpha}+s)}\abs{\alpha}!\\
-% = & \frac{c_1}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\max\{\diam(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}}{c_2 \dist(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
-% \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
-% \end{align*}
-% wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt abschließend die Abschätzung
-% \begin{align*}
-% &\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot,y_2))-\I_p^3\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot,y_2))}_{\infty,[0,1]^3}\\
-% &\leq C_{\kappa} 8e(1+\sqrt 3 \rho_{\kappa})\Lambda_p^3(p+1)\left(1+\frac{2}{\sqrt 3\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
-% &= C_{\zeta_D,j,k}\Lambda_p^3(p+1)\left(1+\frac {2c_2\zeta_D} {\sqrt 3} \right)^{-(p+1)}.
-% \end{align*}
-% \end{beweis}
-
-% \subsection{Quadratur über eine Achse}
-
-
-%
-%
-% \begin{defi} \label{thm:sem:quad:Ap}
-% Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke und $A \in \R^{n \times n}$ gegeben durch \eqref{math:gal:kap}. Dann ist die $A$ approximierende Matrix $A_p$ folgendermaßen definiert.
-% \begin{itemize}
-% \item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta$-unzulässig, so ist
-% \begin{align*}
-% (A_p)_{jk} := A_{jk}.
-% \end{align*}
-% \item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta$-zulässig und $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$, so ist
-% \begin{align*}
-% (A_p)_{jk} := (A_{\zeta})_{jk}.
-% \end{align*}
-% \item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta$-zulässig und $\diam(T_j) > \diam(T_k)$, so ist
-% \begin{align*}
-% (A_p)_{jk} := (A_{\zeta})_{kj}.
-% \end{align*}
-% \end{itemize}
-% \end{defi}
-
-% \subsubsection{Quadratur}
-% \begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_A > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-zulässig, genau dann wenn
-% \begin{align}\label{math:sem:zetaQ}
-% \dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_A \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)).
-% \end{align}
-% Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-unzulässig.
-% \end{defi}
-%
-% \begin{sat} Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
-% \begin{align*}
-% C_{\zeta_A,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_A}{c_2} \right)
-% \end{align*}
-% die Abschätzung
-% \begin{align*}
-% \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_p^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k}
-% &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}.
-% \end{align*}
-% \end{sat}
-% \begin{beweis} Zunächst definieren wir die Konstanten
-% \begin{align*}
-% C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{\zeta_A}{c_2}
-% \end{align*}
-% und können dann die Konstante $C_{\zeta_A,j,k}$ kurz
-% \begin{align*}
-% C_{\zeta_A,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\rho_{\kappa})
-% \end{align*}
-% schreiben.\\
-% Sei $x_b,y_b \in [0,1]$ fest gewählt. Bezeichnet $\gamma$ die Parametrisierung von $T$, so gilt aufgrund der Kettenregel
-% \begin{align*}
-% \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa}
-% &=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\
-% &=\diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta}
-% \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}.
-% \end{align*}
-% Ferner gilt mit \eqref{thm:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
-% \begin{align*}
-% \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha}& \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\
-% \leq& \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(x,x_b)-\gamma_k(y,y_b))})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
-% \leq & \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))^{\alpha+\beta} c_1 (c_2 \abs{\bs x - \bs y})^{-(\alpha+\beta+s)}(\alpha+\beta)!\\
-% = & \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x - \bs y})^s} \left( \frac{\max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))}{c_2 \abs{\bs x - \bs y}} \right)^{\alpha+\beta}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
-% \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!.
-% \end{align*}
-% Laut Voraussetzung sind $T_j,T_k$ $\zeta_A$-zulässig, weshalb $\kappa$ auf $T_j,T_k$ definitionsgemäß glatt ist. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt die Abschätzung mithilfe von \eqref{math:sem:zetaQ}
-% \begin{align*}
-% \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))&-\I_p^{[0,1]^2}\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))}_{\infty,[0,1]^2}\\
-% &\leq C_{\kappa} 8e(1+\rho_{\kappa})\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
-% % &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
-% &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}.
-% \end{align*}
-% Weiterhin folgt für $T_j \times T_k$
-% \begin{align*}
-% \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_p^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k}
-% &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)},
-% \end{align*}
-% womit der Beweis abgeschlossen ist.
-% \end{beweis}
-%
-% \subsubsection{Matrix}
-% \begin{sat}
-% Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
-% \begin{align}
-% \tilde C_{\zeta,j,\kappa}
-% \end{align}
-% und
-% \begin{align}
-% \abs{T_j}\abs{T_k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k).
-% \end{align}
-% Dann gilt für das Integral
-% \begin{align}
-% A_{jk}
-% &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
-% &= \abs{T_j}\abs{T_k}
-% \int_{[0,1]^2} \int_{[0,1]^2} \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
-% \end{align}
-% und für den durch die Gauss-Quadratur von $A_{jk}$ zum Grad $p$ entstehenden Term
-% \begin{align*}
-% (A_p)_{jk}&=\abs{T_j}\abs{T_k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))
-% \end{align*}
-% die Abschätzung
-% \begin{align}
-% .
-% \end{align}
-% \end{sat}
-% \begin{beweis} Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt:
-% \begin{align*}
-% (A_p)_{jk}
-% &=\abs{T_j}\abs{T_k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\
-% &=\abs{T_j}\abs{T_k} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d,
-% \end{align*}
-% wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\bs a}$ bezeichnet. Wegen der Additivität des Integrals und durch Hineinziehen des Betrags erhält man
-% \begin{align*}
-% \abs{A_{jk} &- (A_p)_{jk}}\\
-% &=\abs{T_j}\abs{T_k} \Abs{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1
-% \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) - \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d}\\
-% &\leq \abs{T_j}\abs{T_k} \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k}
-% \abs{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)- \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)} ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}\\
-% &=\why{\sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]}}
-% \end{align*}
-%
-% \todo{\end{beweis}\\}
-%
-
-
\clearpage
\section{Analytische Berechnung} \label{sec:analyt}
projects / bacc.git / commitdiff