\def\P{\mathcal{P}}
\def\C{\mathcal{C}}
\def\I{\mathcal{I}}
+\def\E{\mathcal{E}}
\def\oder{\vee}
\def\und{\wedge}
\newtheorem{lem}[defi]{Lemma}
\newtheorem{sat}[defi]{Satz}
\newtheorem{bew}[defi]{Beweis}
+\newtheorem{bem}[defi]{Bemerkung}
\newtheorem{alg}[defi]{Algorithmus}
\newcommand{\beweis}{{\it Beweis. }}
- \varDelta u &= 0 \quad\text{ in } \Omega \subset \R^3,\\
u &= g \quad \text{ auf }\Gamma,
\end{align*}
-wobei $\varDelta u := \partial_x^2u+\partial_y^2u$ den Laplace-Operator bezeichnet und $\Omega \subset \R^3$ eine beschränkte Teilmenge von $\R^3$ mit Lipschitz-Rand $\Gamma := \partial \Omega$ ist.\\
+wobei $\varDelta u := \partial_x^2u+\partial_y^2u+\partial_z^2u$ den Laplace-Operator bezeichnet und $\Omega \subset \R^3$ eine beschränkte Teilmenge von $\R^3$ mit Lipschitz-Rand $\Gamma := \partial \Omega$ ist.\\
In Abschnitt 2 stellen wir zunächst die Randelementmethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen vor. Dabei verwenden wir den indirekten Ansatz um anschließend mithilfe des Galerkin-Verfahrens die Gleichung zu lösen. An dieser Stelle werden wir auch kurz die Parametrisierung des Randes vorstellen. Denn wir werden im Folgenden den Rand in affine achsenorientierte Rechtecke $T$ zerlegen, das heißt die Punkte in einem Rechteck liegen in einer zu den Achsen des Koordinatensystem parallelen Ebene.\\
In Abschnitt 3 werden wir uns mit der approximativen Berechnung des Doppelintegrals
\begin{align}\label{math:intro:int}
\begin{align*}
T := \{\bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b} ~|~ \lambda_1,\lambda_2 \in[0,1]\}
\end{align*}
-achsenorientiertes Rechteck.
-\end{defi}
-
-\begin{defi}
-Sei $T$ ein Rechteck, Dann heißt
+achsenorientiertes Rechteck. Ferner heißt
\begin{align*}
- \gamma := [0,1]^2 \to T: \lambda_1,\lambda_2 \mapsto \bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b}
+ \gamma_T := [0,1]^2 \to T: \lambda_1,\lambda_2 \mapsto \bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b}
\end{align*}
die zu $T$ zugehörige Parametrisierung.
\end{defi}
+\begin{bem}
+Weiterhin werden wir die vier Ecken des Rechtecks
+\begin{align*}
+ \K_T&:=\{\gamma_T(x,y) ~|~ x,y \in \{0,1\}\}
+\end{align*}
+als Menge der Knoten des Rechtecks $T$ bezeichnen und als Kanten von $T$ nennen wir die Menge
+\begin{align*}
+ \E_T&:= \{[k_T, \tilde k_T] ~|~ k_T,\tilde k_T\in \K_T, k_T\neq\tilde k_T\}.
+\end{align*}
+\end{bem}
\begin{defi}Sei $a,b\in\R$ für $T$ definiert wie in Def. \ref{math:def:T}, dann heißt
\begin{align*}
\diam (T) &= (a^2+b^2)^{1/2}
Ist $c \in T_j \cap T_k$ ein Eckpunkt von $T_j$ aber nicht von $T_k$, so nennen wir $c$ einen hängenden Knoten.
\end{defi}
\begin{defi}
-Wir nennen $\T_{\ell} = \{T_1,T_2,\dots,T_N\}$ eine Partition von $\Gamma$ falls:
+Sei $\T_{\ell} = \{T_1,T_2,\dots,T_N\}$ eine endliche Menge von achsenorientierten Rechtecken. Es bezeichne $\K_{\ell}:=\bigcup_{T\in\T} k_T$ die Menge der Knoten von $\T_{\ell}$ und $\E_{\ell}:=\bigcup_{T\in\T} e_T$ die Menge der Kanten. Wir nennen $\T_{\ell}$ eine Partition von $\Gamma$, falls
\begin{itemize}
\item $\overline{\Gamma} = \bigcup_{j=1}^NT_j$
-\item alle Elemente aus $T_{\ell}$ sind abgeschlossene achsenorientierte Rechtecke
+% \item alle Elemente aus $T_{\ell}$ sind abgeschlossene achsenorientierte Rechtecke
\item $\abs{T_j \cap T_k}=0$ für den Schnitt zweier Elemente $T_j,T_k\in\T_{\ell}$ mit $T_j\neq T_k$
\end{itemize}
-Hier bezeichne $\abs{\cdot}$ das 2-Dimensionale Oberflächenmaß für Rechtecke. Weiterhin sei der Schnitt $T_j \cap T_k$ zweier Elemente $T_j,T_k\in\T_{\ell}$ mit $T_j\neq T_k$
+Hier bezeichne $\abs{\cdot}$ das 2-dimensionale Oberflächenmaß. Weiterhin sei der Schnitt $T_j \cap T_k$ zweier Elemente $T_j,T_k\in\T_{\ell}$ mit $T_j\neq T_k$
\begin{itemize}
\item leer,
\item Knoten von $T_j$ und $T_k$,
- \item Kante von $T_j$ und $T_k$,
- \item Knoten von $T_j$ und $T_k$ und o.B.d.A. Kante von $T_j$, also nur einen hängenden Knoten pro Kante.
+ \item Kante von $T_j$ oder $T_k$.
\end{itemize}
+Ferner liegen auf jeder Kante von $\T_{\ell}$ maximal 3 Knoten.
\end{defi}
\begin{figure}[ht]
\centering
\caption{Beispiel Partitionen}
\label{fig:net}
\end{figure}
-\begin{defi}
-Außerdem wollen wir zu jedem Netz $\T$ die Menge der Seiten $\S$ definieren, wobei zu jeder Seite $e_T \in \S$ eine bezüglich des Elements $T$ gegenüberliegende Seite $\tilde e_T$ existiert.
-\end{defi}
\subsection{Verfeinern}
\begin{defi}[Lokale Verfeinerung]
\begin{defi}
Für eine Partition $\T_{\ell}$ bezeichnen wir mit $\widehat \T_{\ell}$ jene Partition die entsteht, wenn alle Elemente isotrop verfeinert werden.
\end{defi}
-\begin{alg}[Verfeinern] \label{alg:refine} Sei $\T_{\ell}$ eine Partition und $\S_{\ell}^{(0)}$ eine Menge markierter Kanten, wobei zu jedem $e_T \in \S_{\ell}^{(0)}$ auch $\tilde e_T \in \S_{\ell}^{(0)}$ ist. Nun sei $i=0$ und gehe so vor:
+
+\begin{alg}[Verfeinern] \label{alg:refine} Sei $\T_{\ell}$ eine Partition und $\sqcap_{\ell} \subseteq \{e_T ~|~ T \in \T_{\ell},e\in\E_T \}:=\S_{\ell}$ eine Menge markierter Kanten. Nun sei $\sqcap_{\ell}^{(0)}:=\sqcap_{\ell}$ und $i=0$, dann gehe so vor:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumi}{(\roman{enumi})}
\item \label{alg:refine:first}
- Definiere $\S_{\ell}^{(i+1)} := \{ e_T, \tilde e_T ~|~ T \in \T_{\ell}$ mit $\exists$ hängender-Knoten auf $T$ und $\exists T' \in\T_{\ell}$ sodass $T \cap T' = e_{T'},\in \S_{\ell}^{(i)} \}$
+ $\sqcap_{\ell}^{(i+1)} := \sqcap_{\ell}^{(i)} \cup \{ e_{T'}' \in \S_{\ell}\backslash\sqcap_{\ell}^{(i)} ~|~ \exists e_T \in \sqcap_{\ell}^{(i)} e' \supseteq e \} \cup \{\tilde e_T \in \S_{\ell} ~|~ \exists e\in\E_T : e\cap\tilde e=\emptyset\}$
\item
- Falls $\S_{\ell}^{(i)} \subsetneq \S_{\ell}^{(i+1)}$, $i = i+1$ und gehe zu Schritt \ref{alg:refine:first}
- \item Teile alle Elemente aus $\T_{\ell}$ bezüglich der markierten Kanten $\S_{\ell}^{(0,1,\ldots,i)}$, wie in der lokalen Verfeinerung vorgegeben
+ Falls $\sqcap_{\ell}^{(i)} \subsetneq \sqcap_{\ell}^{(i+1)}$, $i = i+1$ und gehe zu Schritt \ref{alg:refine:first}
+ \item Teile alle Elemente aus $\T_{\ell}$ bezüglich der markierten Kanten $\sqcap_{\ell}^{(i)}$, wie in der lokalen Verfeinerung vorgegeben
\end{enumerate}
+
+$\{\tilde e_T ~|~ \exists e \in \E_T : e \cap \tilde e =\emptyset \}$
\end{alg}
\clearpage
-
+
\section{Analytische und Semi-analytische Berechnung}
\todo{ \scriptsize
\begin{itemize}
\end{align*}
-% \subsection{Bestimmtes Integral}
-% \begin{eqnarray*}
-% &&\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\
-% &\approx& \frac{1}{4\pi} \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1}\int_0^{\tilde k_2}
+\subsection{Bestimmtes Integral}
+% \begin{align*}
+% &\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\
+% &\approx \frac{1}{4\pi} \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1}\int_0^{\tilde k_2}
% \dif{}{y_2} \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
% F_{par/ort}(x_1,x_2,y_1,y_2)
% dy_2 dy_1 dx_2 dx_1\\
% -
% \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
% F_{par/ort}(x_1,x_2,\tilde k_1,0) \\
-% &&-
+% &-
% \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
% F_{par/ort}(x_1,x_2,0,\tilde k_2)
% +
% -
% \dif{}{x_1}
% F_{par/ort}(x_1,k_2,\tilde k_1,0) \\
-% &&-
+% &-
% \dif{}{x_1}
% F_{par/ort}(x_1,k_2,0,\tilde k_2)
% +
% \dif{}{x_1}
% F_{par/ort}(x_1,k_2,0,0)\\
-% &&- %%
+% &- %%
% \dif{}{x_1}
% F_{par/ort}(x_1,0,\tilde k_1,\tilde k_2)
% +
% \dif{}{x_1}
% F_{par/ort}(x_1,0,\tilde k_1,0) \\
-% &&+
+% &+
% \dif{}{x_1}
% F_{par/ort}(x_1,0,0,\tilde k_2)
% -
% F_{par/ort}(k_1,k_2,0,\tilde k_2)
% +
% F_{par/ort}(k_1,k_2,0,0)\\
-% &&-
+% &-
% F_{par/ort}(k_1,0,\tilde k_1,\tilde k_2)
% +
% F_{par/ort}(k_1,0,\tilde k_1,0)
% F_{par/ort}(k_1,0,0,\tilde k_2)
% -
% F_{par/ort}(k_1,0,0,0)\\
-% &&- %%
+% &- %%
% F_{par/ort}(0,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2)
% -
% F_{par/ort}(0,k_2,\tilde k_1,0)
% F_{par/ort}(0,k_2,0,\tilde k_2)
% +
% F_{par/ort}(0,k_2,0,0)\\
-% &&-
+% &-
% F_{par/ort}(0,0,\tilde k_1,\tilde k_2)
% +
% F_{par/ort}(0,0,\tilde k_1,0)
% F_{par/ort}(0,0,0,\tilde k_2)
% -
% F_{par/ort}(0,0,0,0)\big)
-% \end{eqnarray*}
+% \end{align*}
\clearpage
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