-\documentclass[a4paper,11pt,fleqn]{article}
+\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{article}
\usepackage{fullpage} %Seiten etwas Größer
\usepackage[ngerman]{babel} %Sprachpacket für Überschriften
\def\T{\mathcal{T}}
\def\K{\mathcal{K}}
\def\S{\mathcal{S}}
+\def\P{\mathcal{P}}
+\def\C{\mathcal{C}}
+\def\I{\mathcal{I}}
\def\oder{\vee}
\def\und{\wedge}
\begin{defi}[Rechteck] Sei $\bs x \in \R^3$, $\bs a,\bs b \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$ mit $\bs a\neq \bs b$ und $a,b \in \R$ mit $a,b > 0$. Dann heißt
\begin{align}
- T := \{\bs x + \lambda a {\bs a} + \gamma b {\bs b} ~|~ \lambda,\gamma \in[0,1]\}
+ T := \{\bs x + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b} ~|~ \lambda_1,\lambda_2 \in[0,1]\}
\end{align}
achsenorientiertes Rechteck.
\end{defi}
+\begin{defi}
+ Sei $T$ ein Rechteck, Dann heißt
+ \begin{align}
+ \gamma := [0,1]^2 \to T: \lambda_1,\lambda_2 \mapsto \bs x + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b}
+ \end{align}
+die zu $T$ zugehörige Parametrisierung.
+\end{defi}
+
+
\begin{defi}[hängender Knoten]
Ist $c \in T_j \cap T_k$ ein Eckpunkt von $T_j$ aber nicht von $T_k$, so nennen wir $c$ einen hängenden Knoten.
\end{defi}
\item \label{alg:refine:first}
Definiere $\S_{\ell}^{(i+1)} := \{ e_T, \tilde e_T ~|~ T \in \T_{\ell}$ mit $\exists$ hängender-Knoten auf $T$ und $\exists T' \in\T_{\ell}$ sodass $T \cap T' = e_{T'},\in \S_{\ell}^{(i)} \}$
\item
- Falls $\S_{ell}^{(i)} \subsetneq \S_{ell}^{(i+1)}$, $i = i+1$ und gehe zu Schritt \ref{alg:refine:first}
+ Falls $\S_{\ell}^{(i)} \subsetneq \S_{\ell}^{(i+1)}$, $i = i+1$ und gehe zu Schritt \ref{alg:refine:first}
\item Teile alle Elemente aus $\T_{\ell}$ bezüglich der markierten Kanten $\S_{\ell}^{(0,1,\ldots,i)}$, wie in der lokalen Verfeinerung vorgegeben
\end{enumerate}
\end{alg}
A_{jk} &=\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}.
\end{align}
unter bestimmten Vorraussetzungen an die affinen Randstücke $T_j,T_k$ und den asymptotisch glatten Integranden $\kappa : \R^3 \times \R^3 \to \R$.
-
-
+\subsection{Interpolation}
+Zunächst wollen wir die Chebyshev-Interpolation auf dem Intervall [0,1] definieren. Hierzu sei $\P_p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$.
+\begin{defi}
+ Seien $x_0,\ldots,x_p \in [0,1]$ paarweise verschiedene Knoten und $y_0,\ldots,y_p$ die zugehörigen Funktionswerte. Die Lagrange'sche Interpolationsaufgabe lautet dann folgendermaßen: Finde ein Polynom $q$ vom Grad $p-1$, sodass
+ \begin{align*}
+ q(x_i) &=y_i \quad \text{für alle} i=0,\ldots,p.
+ \end{align*}
+\end{defi}
+Ferner definieren wir die zu den Knoten $x_0,\ldots,x_p$ zugehörigen Lagrange-Polynome durch
+\begin{align}
+ L_j(x) &= \prod_{i=1,i\neq j}^p \frac{x-x_i}{x_j-xi}.
+\end{align}
+\todo{cite} zeigt, dass die Lagrange'sche Interpolationsaufgabe eine eindeutige Lösung besitzt, die gegeben ist durch
+\begin{align}
+ q&=\sum_{j=0}^py_jL_j.
+\end{align}
+Wir definieren den Interpolationsoperator $\I_pu$ durch
+\begin{align}
+ \I_pu &:= \sum_{j=0}^p u(x_j)L_j.
+\end{align}
+Außerdem definieren wir die Lebesgue-Konstante durch
+\begin{align}
+ \Lambda_p &:= \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=0}^p\abs{L_j(x)}.
+\end{align}
+\todo{cite} stellt einen Bezug zwischen der Bestapproximation und der Polynominterpolation her und ist später von Bedeutung.
+\begin{sat}
+ Sei $\Lambda_p$ die Lebesgue-Konstante zu $p$ paarweise verschiedener Knoten $x_1,\ldots,x_p$, die alle im Intervall $[0,1]$ liegen. Dann gilt für jedes $u \in \C[0,1]$
+ \begin{align}
+ \norm{\I_pu-u}_{\infty} &\leq (1 + \Lambda_p) \min_{v\in \P_p} \norm{u-v}_{\infty},
+ \end{align}
+wobei $\P_p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$ bezeichnet.
+\hfill $\square$
+\end{sat}
+Eine einfache Fehlerabschätzung für den Interpolationsfehler liefert \todo{cite}. Unter der Voraussetzung $u \in \C^{p+1}([0,1])$ gilt:
+\begin{align}
+\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq \max_{x\in[0,1]} \left| \prod_{j=0}^n (x-x_j) \right| \frac{1}{(p+1)!} \norm{u^{(p+1)}}_{\infty,[0,1]}
+\end{align}
+Bei der Chebyshev-Interpolation wählt man die Knoten in Bezug auf diese Abschätzung optimal, indem man den ausschließlich durch die Knotenwahl bestimmten Term
+\begin{align*}
+ \max_{x\in[0,1]} \left| \prod_{j=0}^n (x-x_j) \right|
+\end{align*}
+minimiert. Die Läsung dieses Minimierungsproblrems sind die NUllstellen der Chebyshev-Polynome. Diese sind gegeben durch
+\begin{align}
+ x_j &= \frac12 \cos \left( \frac{2j-1}{p} \frac12 \right) + \frac12 \quad \text{für} j=1,\ldots,p.
+\end{align}
+Sieh dazu auch \todo{cite}.\\ Im folgenden bezeichne $\I_p$ immer den Chebyshev-Interpolationsoperator.
\subsection{Gauss-Quadratur}
+Im Folgenden wollen wir die klassische Gauss-Quadratur definieren.\\
+Unter einer Quadratur verstehen wir die approximative Berechnung eines Integrals der Form:
+\begin{align}
+ \int_0^1 f(x) dx
+\end{align}
+durch eine Summe
+\begin{align}
+ \Q(f) &:= \sum_{k=0}^n w_kf(x_k).
+\end{align}
+Die $x_k$ sind hierbei die Knoten, die $w_k$ Gewichte.
+Eine Quadratur heißt exakt für eine Funktion $f$, falls $\Q(f) = \int_0^s f(x) dx$ ist.\\
+Eine Quadratur hat den Exaktheitsgrad $m$, wenn sie für Polynome bis zum Grad $m$ exakt ist.\\
+Eine Quadratur hießt interpolatorisch (vom Grad $n$), falls für jede integrierbare, auf $(0,1)$ stetige Funktion $f$
+\begin{align}
+ \Q_n(f) &:= \sum_{k=0}^n w_kp(x_k)
+\end{align}
+gilt, wobei $p$ das Interpolationspolynom von $f$ vom Grad $n$ zu den Knoten $x_0,\ldots,x_n$ ist.
\begin{align}
\Q(f) := \sum_{k=0}^n w_kf(x_k) \approx \int_0^s f(x) dx
\end{align}
\subsection{Bedingung}
\begin{align}
- dist (T, \tilde T)&\geq \mu \min\{ diam(T) , diam(\tilde T)\}\\
- dist (I_1, J_1) &\geq \mu \max\{ len(I_2) , len(J_2)\}
+ dist (T, \tilde T)&\geq \zeta \min\{ diam(T) , diam(\tilde T)\}\\
+ dist (I_1, J_1) &\geq \zeta \max\{ len(I_2) , len(J_2)\}
\end{align}
\subsection{Semianalytisch}
\end{align}
+\begin{defi}
+ Die Kern-Funktion $\kappa(\bs x,\bs y)$ heißt asymptotisch glatt, falls sie glatt ist für $\bs x \neq \bs y$ und Konstanten $c_1,c_2>0$ und eine Ordnung der Singularität $s \in \R$ existieren, sodass
+ \begin{align}
+ \abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\partial_{\bs y}^{\beta}\kappa(\bs x, \bs y)} &\leq c_1(c_2(\abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha}-\abs{\beta}+s)}(\alpha + \beta)!
+ \end{align}
+für alle Multiindizes $\alpha,\beta \in \N_0^d$ mit $\abs{\alpha} + \abs{\beta}\geq 1$ gilt.
+\end{defi}
+Wie wir im Folgenden sehen werden, lassen sich asymptotisch glatte Kernfunktionen besonders gut durch Polynome interpolieren. Hierzu benötigen wir das Lemma \todo{cite}:
+\begin{lem}
+ Sei $J \subseteq \R$ ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall und angenommen die Funktion $u$ erfüllt für Konstanten $C_u,\gamma_u > 0$
+ \begin{align}
+ \norm{u^{(n)}}_{\infty,J} &\leq C_u \gamma_u^nn!\text{~~~für alle} n \in \N_0.
+ \end{align}
+Dann gilt für alle $k\in \N_0$
+\begin{align}
+ \min_{v \in \P_p} \norm{u-v}_{\infty,J} &\leq C_u 4e(1+\gamma_u\abs{J})(p+1)\left(1+\frac{2}{\gamma_u\abs{J}}\right)^{-(p+1)}.
+\end{align}
+\end{lem}
+\hfill$\square$
+
\section{Analytische Berechnung vom Integral im Fall des
Einfachschichtpotentials}
\todo{
\item sie sind unter Saturationsannahme auch zuverlässig
\end{itemize}
-\begin{bew}
+
Siehe S.F. Paper $\mapsto$ THM 3.2 \& 3.4
-\end{bew}
+
\begin{align*}
projects / bacc.git / commitdiff